Fonctions holomorphes
Chapitre 13
MP (2e année) — Chapitre 13. Dérivation complexe, équations de Cauchy-Riemann, \mathbb{C}-algèbre des fonctions holomorphes, fonctions analytiques, principe du prolongement analytique, principe des zéros isolés.
Ce chapitre a été réalisé conformément au programme marocain de mathématiques de la filière MP.
Dans tout ce chapitre, \Omega désigne un ouvert non vide de \mathbb{C} et on pose \tilde{\Omega} = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 \mid x + iy \in \Omega\}, qui est un ouvert non vide de \mathbb{R}^2.
Soit f : \Omega \to \mathbb{C} une application. On note \tilde{f} l’application définie sur \tilde{\Omega} par \tilde{f}(x,y) = f(x+iy), et on pose : u(x,y) = \mathrm{Re}(\tilde{f}(x,y)), \quad v(x,y) = \mathrm{Im}(\tilde{f}(x,y))
Pour tout z_0 \in \mathbb{C} et tout r \in \mathbb{R}^+ \cup \{+\infty\}, on pose D(z_0, r) = \{z \in \mathbb{C} \mid |z - z_0| < r\}. Si 0 < r < +\infty, D(z_0,r) est le disque ouvert de centre z_0 et de rayon r. Par abus de langage, on dira que \mathbb{C} est le disque ouvert de rayon +\infty.
1 Dérivation complexe
1.1 Définition
Définition 1.1 — (Dérivation complexe)
Une application f : \Omega \to \mathbb{C} est dite \mathbb{C}-dérivable en z_0 \in \Omega si la limite : f'(z_0) = \lim_{\substack{z \to z_0 \\ z \neq z_0}} \frac{f(z) - f(z_0)}{z - z_0} existe. Cette limite est appelée la dérivée de f en z_0.
1.2 Lien avec la différentiabilité réelle
Proposition 1.1 — (Caractérisation)
Soit z_0 = x_0 + iy_0 \in \Omega. Alors f est \mathbb{C}-dérivable en z_0 si et seulement si \tilde{f} est différentiable en (x_0, y_0) et : \frac{\partial \tilde{f}}{\partial y}(x_0, y_0) = i \cdot \frac{\partial \tilde{f}}{\partial x}(x_0, y_0)
Cette condition signifie que la multiplication par i dans \mathbb{C} correspond à une rotation de 90° dans \mathbb{R}^2. C’est une condition très restrictive qui distingue la dérivabilité complexe de la simple différentiabilité réelle.
1.3 Équations de Cauchy-Riemann
Théorème 1.1 — (Équations de Cauchy-Riemann)
Soit f : \Omega \to \mathbb{C} une application et z_0 = x_0 + iy_0 \in \Omega. Alors f est \mathbb{C}-dérivable en z_0 si et seulement si les fonctions u et v sont différentiables en (x_0, y_0) et vérifient les équations de Cauchy-Riemann : \boxed{\frac{\partial u}{\partial x}(x_0, y_0) = \frac{\partial v}{\partial y}(x_0, y_0), \quad \frac{\partial u}{\partial y}(x_0, y_0) = -\frac{\partial v}{\partial x}(x_0, y_0)}
Dans ce cas, la dérivée de f en z_0 est : f'(z_0) = \frac{\partial u}{\partial x}(x_0, y_0) + i \frac{\partial v}{\partial x}(x_0, y_0)
Exemple 1.1
Vérifions que la fonction f(z) = z^2 est \mathbb{C}-dérivable.
On a f(x+iy) = (x+iy)^2 = x^2 - y^2 + 2ixy, donc u(x,y) = x^2 - y^2 et v(x,y) = 2xy.
\frac{\partial u}{\partial x} = 2x = \frac{\partial v}{\partial y}, \quad \frac{\partial u}{\partial y} = -2y = -\frac{\partial v}{\partial x}
Les équations de Cauchy-Riemann sont vérifiées, donc f est \mathbb{C}-dérivable et f'(z) = 2x + 2iy = 2z.
Exemple 1.2 — (Fonction non holomorphe)
La fonction f(z) = \overline{z} n’est pas \mathbb{C}-dérivable.
On a f(x+iy) = x - iy, donc u(x,y) = x et v(x,y) = -y.
\frac{\partial u}{\partial x} = 1 \neq -1 = \frac{\partial v}{\partial y}
Les équations de Cauchy-Riemann ne sont pas vérifiées.
2 Fonctions holomorphes
2.1 Définition
Définition 2.1 — (Fonction holomorphe)
Une application f : \Omega \to \mathbb{C} est dite holomorphe sur \Omega si elle est \mathbb{C}-dérivable en tout point de \Omega et si la fonction z \mapsto f'(z) est continue sur \Omega.
La fonction z \mapsto f'(z) est alors appelée la dérivée de f, notée f'.
Proposition 2.1
Toute fonction polynomiale est holomorphe sur \mathbb{C} et sa dérivée au sens complexe coïncide avec sa dérivée algébrique.
2.2 La \mathbb{C}-algèbre des fonctions holomorphes
Définition 2.2 — (\boldsymbol{\mathbb{C}}-algèbre \boldsymbol{\mathcal{H}(\Omega)})
L’ensemble des fonctions holomorphes sur \Omega, noté \mathcal{H}(\Omega), est une sous-algèbre de la \mathbb{C}-algèbre des applications de \Omega dans \mathbb{C}.
Proposition 2.2 — (Opérations sur les fonctions holomorphes)
La dérivation est linéaire et vérifie la formule de Leibniz : (fg)' = f'g + fg' pour f, g holomorphes sur \Omega.
Proposition 2.3 — (Composition de fonctions holomorphes)
Si f_1 est holomorphe sur un ouvert \Omega_1 et si f_2 est holomorphe sur un ouvert \Omega_2 contenant f_1(\Omega_1), alors f_2 \circ f_1 est holomorphe sur \Omega_1 et : (f_2 \circ f_1)' = (f_2' \circ f_1) \cdot f_1'
Exemple 2.1
La fonction f(z) = e^{z^2} est holomorphe sur \mathbb{C} comme composée de l’exponentielle et de z \mapsto z^2.
Sa dérivée est f'(z) = e^{z^2} \cdot 2z = 2ze^{z^2}.
3 Fonctions analytiques
3.1 Définition
Définition 3.1 — (Fonction analytique)
Une application f : \Omega \to \mathbb{C} est dite analytique sur \Omega si elle est développable en série entière autour de tout point de \Omega, c’est-à-dire si pour tout z_0 \in \Omega, il existe un réel r > 0 et une série entière \sum_{n \geq 0} a_n z^n de rayon de convergence \geq r tels qu’on ait : D(z_0, r) \subset \Omega \quad \text{et} \quad f(z) = \sum_{n=0}^{+\infty} a_n (z - z_0)^n, \quad z \in D(z_0, r)
Proposition 3.1 — (Exemples de fonctions analytiques)
- Toute fonction polynomiale est analytique sur \mathbb{C}.
- La fonction exponentielle est analytique sur \mathbb{C} : e^z = e^{z_0} \cdot e^{z-z_0} = e^{z_0} \cdot \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(z-z_0)^n}{n!}, \quad z_0, z \in \mathbb{C}
- Plus généralement, la somme d’une série entière est analytique sur son disque ouvert de convergence.
3.2 La \mathbb{C}-algèbre des fonctions analytiques
Définition 3.2 — (\boldsymbol{\mathbb{C}}-algèbre \boldsymbol{\mathcal{O}(\Omega)})
L’ensemble des fonctions analytiques sur \Omega, noté \mathcal{O}(\Omega), est une sous-algèbre de la \mathbb{C}-algèbre des applications de \Omega dans \mathbb{C}.
Proposition 3.2 — (Formule de Taylor algébrique)
Si f est analytique sur \Omega, alors pour tout z_0 \in \Omega, le développement de f autour de z_0 est donné par sa série de Taylor en z_0 : f(z) = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{f^{(n)}(z_0)}{n!} (z - z_0)^n
4 Lien entre fonctions holomorphes et fonctions analytiques
4.1 Toute fonction analytique est holomorphe
Théorème 4.1 — (\boldsymbol{\mathcal{O}(\Omega) \subset \mathcal{H}(\Omega)})
Toute fonction f analytique sur \Omega est holomorphe sur \Omega.
Proposition 4.1
Si f est holomorphe sur \Omega, alors f est indéfiniment \mathbb{C}-dérivable sur \Omega et pour tout z_0 \in \Omega, le développement de f autour de z_0 est donné par sa série de Taylor en z_0.
4.2 Toute fonction holomorphe est analytique
Théorème 4.2 — (\boldsymbol{\mathcal{H}(\Omega) \subset \mathcal{O}(\Omega)})
Toute fonction f holomorphe sur \Omega est analytique sur \Omega.
Plus précisément, pour tout z_0 \in \Omega, si D(z_0, R) désigne le plus grand disque ouvert de centre z_0 inclus dans \Omega, il existe une suite (a_n)_{n \geq 0} de nombres complexes, uniquement déterminée, telle que le rayon de convergence de la série entière \sum_{n \geq 0} a_n z^n soit \geq R et qu’on ait : f(z) = \sum_{n=0}^{+\infty} a_n (z - z_0)^n, \quad z \in D(z_0, R)
La démonstration de ce résultat est hors programme.
Corollaire 4.1
On a l’égalité des deux \mathbb{C}-algèbres : \mathcal{H}(\Omega) = \mathcal{O}(\Omega)
Les notions de fonction holomorphe et de fonction analytique coïncident.
5 Principe du prolongement analytique
Théorème 5.1 — (Principe du prolongement analytique)
Soit g une fonction holomorphe sur un ouvert non vide \Omega_1. S’il existe un ouvert connexe par arcs \Omega contenant \Omega_1 et une fonction f holomorphe sur \Omega et prolongeant g, alors f est unique.
Preuve. Supposons qu’il existe deux prolongements f_1 et f_2 de g sur \Omega. Posons h = f_1 - f_2. Alors h est holomorphe sur \Omega et h = 0 sur \Omega_1. Par le principe des zéros isolés (démontré ci-dessous), h = 0 sur \Omega tout entier, donc f_1 = f_2.
Ce principe est fondamental en analyse complexe. Il signifie qu’une fonction holomorphe est entièrement déterminée par ses valeurs sur n’importe quel ouvert non vide de son domaine. C’est une propriété très rigide, spécifique aux fonctions holomorphes.
6 Principe des zéros isolés
Théorème 6.1 — (Principe des zéros isolés)
Soit f une fonction non nulle et holomorphe sur \Omega, ouvert connexe par arcs. Si z_0 est un point de \Omega tel que f(z_0) = 0, alors il existe r > 0 tel que D(z_0, r) \subset \Omega et : f(z) \neq 0 \quad \text{pour tout } z \in D(z_0, r) \setminus \{z_0\}
Autrement dit, les zéros d’une fonction holomorphe non nulle sont isolés.
Preuve. Comme f est holomorphe sur \Omega, elle est analytique. Donc autour de z_0, on peut écrire : f(z) = \sum_{n=0}^{+\infty} a_n (z - z_0)^n
Comme f(z_0) = 0, on a a_0 = 0. Si f n’est pas identiquement nulle, il existe un plus petit entier m \geq 1 tel que a_m \neq 0. On peut alors écrire : f(z) = (z - z_0)^m \sum_{k=0}^{+\infty} a_{k+m} (z - z_0)^k
La série \sum_{k=0}^{+\infty} a_{k+m} (z - z_0)^k converge dans un disque de rayon r et vaut a_m \neq 0 en z_0. Par continuité, elle ne s’annule pas dans un voisinage de z_0. Donc f(z) \neq 0 pour z \neq z_0 dans ce voisinage.
Corollaire 6.1 — (Principe d’identité)
Si f est une fonction holomorphe sur \Omega, ouvert connexe par arcs, et s’il existe z_0 \in \Omega tel que pour tout n \in \mathbb{N} : f^{(n)}(z_0) = 0 alors f est nulle sur \Omega.
Preuve. Par le principe des zéros isolés appliqué à f, si f n’est pas identiquement nulle, alors ses zéros sont isolés. Mais si toutes les dérivées de f en z_0 sont nulles, alors z_0 est un zéro non isolé de f (ou f est identiquement nulle). Contradiction, donc f = 0 sur \Omega.
Exemple 6.1 — (Application)
Soit f une fonction holomorphe sur \mathbb{C} telle que f(n) = 0 pour tout n \in \mathbb{N}. Alors f = 0 sur \mathbb{C}.
En effet, les zéros de f ne sont pas isolés (l’ensemble \mathbb{N} a un point d’accumulation en +\infty). Par le principe des zéros isolés, f est identiquement nulle.
7 Exercices
Exercice 7.1
Montrer que la fonction f(z) = \frac{1}{z} est holomorphe sur \mathbb{C}^* = \mathbb{C} \setminus \{0\} et calculer sa dérivée.
Exercice 7.2
Montrer que la fonction f(z) = \overline{z} n’est pas holomorphe sur \mathbb{C}.
Exercice 7.3
Soit f : \Omega \to \mathbb{C} une fonction holomorphe. Montrer que :
- \mathrm{Re}(f) et \mathrm{Im}(f) sont de classe \mathcal{C}^\infty sur \Omega.
- \mathrm{Re}(f) et \mathrm{Im}(f) sont des fonctions harmoniques, c’est-à-dire qu’elles vérifient l’équation de Laplace : \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 0
Exercice 7.4
Soit f une fonction holomorphe sur \mathbb{C} telle que f(z) = z^2 pour tout z dans un disque ouvert non vide. Montrer que f(z) = z^2 pour tout z \in \mathbb{C}.
Exercice 7.5
Soit f une fonction holomorphe sur \mathbb{D} = D(0,1) (le disque unité ouvert). Montrer que si f s’annule en une infinité de points de \mathbb{D} ayant un point d’accumulation dans \mathbb{D}, alors f = 0 sur \mathbb{D}.
Exercice 7.6 — (Fonctions entières)
Une fonction entière est une fonction holomorphe sur \mathbb{C}. Montrer que les fonctions suivantes sont entières :
- f(z) = e^z
- f(z) = \sin z
- f(z) = \cos z
- f(z) = \cosh z
- f(z) = \sinh z