Séries dans un espace vectoriel normé et familles sommables
Chapitre 04
MP (2e année) — Chapitre 04. Convergence, convergence absolue, reste, séries d’éléments d’une \mathbb{K}-algèbre normée, famille sommable de nombres complexes, critère de comparaison, théorème de sommation par paquets, critère de sommabilité, produit de Cauchy.
Ce chapitre a été réalisé conformément au programme marocain de mathématiques de la filière MP.
Dans tout ce chapitre, E désigne un \mathbb{K}-espace vectoriel de dimension finie n \in \mathbb{N}^* muni d’une norme \|\cdot\|, où \mathbb{K} est le corps \mathbb{R} ou \mathbb{C}.
1 Séries à valeurs dans un espace normé de dimension finie
1.1 Rappels sur les séries numériques
Définition 1.1 — (Série numérique)
Soit (u_n)_{n \geq n_0} une suite d’éléments de \mathbb{K}. On appelle série de terme général u_n la suite (S_n)_{n \geq n_0} définie par : S_n = \sum_{k=n_0}^n u_k On note \sum u_n ou \sum_{k \geq n_0} u_k cette série.
Définition 1.2 — (Convergence et divergence)
On dit que la série \sum u_n converge si la suite (S_n) converge vers une limite finie S \in \mathbb{K}. On note alors : S = \sum_{k=n_0}^{+\infty} u_k et S est appelée la somme de la série.
Si la suite (S_n) diverge, on dit que la série \sum u_n diverge.
Définition 1.3 — (Reste d’une série convergente)
Si la série \sum u_n converge et si S est sa somme, on note : R_n = \sum_{k=n+1}^{+\infty} u_k le reste de la série \sum u_n et on a R_n \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0.
Proposition 1.1 — (Critère de Cauchy)
Soit \sum u_n une série numérique. La série \sum u_n converge si et seulement si : \forall \varepsilon > 0, \; \exists N \in \mathbb{N}, \; \forall n \geq N, \; \forall p \geq 0, \quad |S_{n+p} - S_n| = |u_{n+1} + \cdots + u_{n+p}| \leq \varepsilon
Définition 1.4 — (Séries absolument convergentes ; semi-convergentes)
Soit \sum u_n une série numérique. On dit que \sum u_n est absolument convergente si la série \sum |u_n| est convergente.
Une série convergente mais non absolument convergente est dite semi-convergente.
1.2 Séries à valeurs dans un espace normé
Définition 1.5 — (Série à valeurs dans un espace normé)
Soit (u_n)_{n \geq n_0} une suite d’éléments de E. On appelle série de terme général u_n la suite (S_n)_{n \geq n_0} définie par : S_n = \sum_{k=n_0}^n u_k On note \sum u_n ou \sum_{k \geq n_0} u_k cette série.
Définition 1.6 — (Convergence et divergence)
On dit que la série \sum u_n converge si la suite (S_n) converge vers une limite S \in E. On note alors : S = \sum_{k=n_0}^{+\infty} u_k Si la suite (S_n) diverge, on dit que la série \sum u_n diverge.
Proposition 1.2 — (Divergence grossière)
Si la série \sum u_n converge, alors u_n \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0.
Proposition 1.3 — (Linéarité)
Soient \sum u_n et \sum v_n deux séries convergentes de sommes respectives S et T, et soient \lambda, \mu \in \mathbb{K}. Alors la série \sum (\lambda u_n + \mu v_n) converge et : \sum_{n=n_0}^{+\infty} (\lambda u_n + \mu v_n) = \lambda S + \mu T
Proposition 1.4 — (Reste d’une série convergente)
Si la série \sum u_n converge et si S est sa somme, on note : R_n = \sum_{k=n+1}^{+\infty} u_k le reste de la série \sum u_n et on a R_n \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0.
1.3 Séries absolument convergentes dans un espace normé
Définition 1.7 — (Convergence absolue)
On dit qu’une série \sum u_n à valeurs dans E est absolument convergente si la série numérique \sum \|u_n\| est convergente.
Proposition 1.5 — (Convergence absolue implique convergence)
Une série \sum u_n à valeurs dans E absolument convergente est convergente. De plus, on a : \left\|\sum_{n=n_0}^{+\infty} u_n\right\| \leq \sum_{n=n_0}^{+\infty} \|u_n\|
Preuve. Utilisons le critère de Cauchy. La série \sum \|u_n\| converge, donc la suite des restes (R'_n) avec R'_n = \sum_{k=n+1}^{+\infty} \|u_k\| tend vers 0. Pour tout \varepsilon > 0, il existe N tel que pour n \geq N et p \geq 0 : \sum_{k=n+1}^{n+p} \|u_k\| < \varepsilon Par l’inégalité triangulaire : \left\|\sum_{k=n+1}^{n+p} u_k\right\| \leq \sum_{k=n+1}^{n+p} \|u_k\| < \varepsilon Donc (S_n) est une suite de Cauchy dans E, qui est complet (car de dimension finie), donc converge.
Pour l’inégalité, on a pour tout n \geq n_0 : \left\|\sum_{k=n_0}^n u_k\right\| \leq \sum_{k=n_0}^n \|u_k\| \leq \sum_{k=n_0}^{+\infty} \|u_k\| En passant à la limite, on obtient le résultat.
Proposition 1.6 — (Critère de comparaison)
Soit (u_n) une suite d’éléments de E et (v_n) une suite de réels positifs. Si \|u_n\| \leq v_n à partir d’un certain rang et si \sum v_n converge, alors \sum u_n est absolument convergente (donc convergente).
2 Séries à termes dans une \mathbb{K}-algèbre
2.1 Définition et propriétés
Dans ce paragraphe, on suppose que E est une \mathbb{K}-algèbre de dimension finie d’élément unité e et muni d’une norme \|\cdot\| vérifiant : \forall x, y \in E, \quad \|x \cdot y\| = \|x\| \cdot \|y\|
Proposition 2.1 — (Série géométrique de Neumann)
Soit a \in E.
- La série \sum_{k=0}^{+\infty} a^k converge si et seulement si \|a\| < 1.
- Dans ce cas : \sum_{k=0}^{+\infty} a^k = (e - a)^{-1}
Exemple 2.1
Dans \mathcal{M}_n(\mathbb{K}) muni de la norme \|A\|_\infty = \sup_{1 \leq i \leq n} \sum_{j=1}^n |a_{i,j}|, si \|A\|_\infty < 1, alors I_n - A est inversible et : (I_n - A)^{-1} = \sum_{k=0}^{+\infty} A^k
Proposition 2.2 — (Produit de Cauchy dans une algèbre)
Soient \sum a_n et \sum b_n deux séries absolument convergentes à valeurs dans une \mathbb{K}-algèbre. Alors la série produit \sum c_n où : c_n = \sum_{k=0}^n a_k b_{n-k} est absolument convergente et : \sum_{n=0}^{+\infty} c_n = \left(\sum_{n=0}^{+\infty} a_n\right) \cdot \left(\sum_{n=0}^{+\infty} b_n\right)
3 Familles sommables
3.1 Familles sommables de nombres réels positifs
Définition 3.1 — (Famille sommable de réels positifs)
Soit (u_i)_{i \in I} une famille d’éléments de [0, +\infty[, où I est un ensemble fini ou dénombrable. On définit la somme de cette famille par : \sum_{i \in I} u_i = \sup \left\{\sum_{i \in F} u_i \mid F \subset I, \; F \text{ fini}\right\}
La famille (u_i)_{i \in I} est dite sommable si \sum_{i \in I} u_i < +\infty.
Proposition 3.1 — (Cas fini et cas dénombrable)
Cas où I est fini : la définition est cohérente avec la somme usuelle.
Cas où I = \mathbb{N} : lien avec les séries. Si la série \sum_{n \geq 0} u_n d’éléments de \mathbb{R}_+ diverge, il est pratique d’écrire \sum_{n=0}^{+\infty} u_n = +\infty.
Proposition 3.2 — (Invariance par permutation)
Soit \sigma : I \to I une bijection. Alors les familles (u_i)_{i \in I} et (u_{\sigma(j)})_{j \in I} ont la même somme : \sum_{j \in I} u_{\sigma(j)} = \sum_{i \in I} u_i
Proposition 3.3 — (Caractérisation de la sommabilité)
La famille (u_i)_{i \in I} d’éléments de \mathbb{R}_+ est sommable si et seulement s’il existe M > 0 tel que pour toute partie finie F de I : 0 \leq \sum_{i \in F} u_i \leq M
3.2 Critère de comparaison
Proposition 3.4 — (Critère de comparaison)
Soient (u_i)_{i \in I} et (v_i)_{i \in I} deux familles de nombres réels positifs telles que pour tout i \in I, 0 \leq u_i \leq v_i. Alors :
La sommabilité de (v_i)_{i \in I} entraîne celle de (u_i)_{i \in I} et on a : 0 \leq \sum_{i \in I} u_i \leq \sum_{i \in I} v_i
La non-sommabilité de (u_i)_{i \in I} entraîne la non-sommabilité de (v_i)_{i \in I}.
3.3 Opérations
Proposition 3.5 — (Linéarité)
Soient (u_i)_{i \in I} et (v_i)_{i \in I} deux familles sommables de nombres réels positifs et \lambda, \mu \in \mathbb{R}_+. Alors la famille (\lambda u_i + \mu v_i)_{i \in I} est sommable et : \sum_{i \in I} (\lambda u_i + \mu v_i) = \lambda \sum_{i \in I} u_i + \mu \sum_{i \in I} v_i
3.4 Théorème de sommation par paquets
Théorème 3.1 — (Théorème de sommation par paquets)
Soit I réunion disjointe des I_j pour j \in J, et soit (u_i)_{i \in I} une famille de réels positifs. Alors : \sum_{i \in I} u_i = \sum_{j \in J} \left(\sum_{i \in I_j} u_i\right)
Exemple 3.1 — (Cas des suites doubles)
Si (u_{m,n})_{(m,n) \in \mathbb{N}^2} est une famille sommable de réels positifs, alors : \sum_{(m,n) \in \mathbb{N}^2} u_{m,n} = \sum_{m=0}^{+\infty} \left(\sum_{n=0}^{+\infty} u_{m,n}\right) = \sum_{n=0}^{+\infty} \left(\sum_{m=0}^{+\infty} u_{m,n}\right)
3.5 Familles sommables de nombres complexes
Définition 3.2 — (Famille sommable de nombres complexes)
Une famille (u_i)_{i \in I} de nombres complexes est dite sommable si la famille (|u_i|)_{i \in I} est sommable, c’est-à-dire si : \sum_{i \in I} |u_i| < +\infty
Proposition 3.6 — (Somme d’une famille sommable)
Cas réel : Si la famille (u_k)_{k \in I} est réelle, sa somme est définie comme la différence des sommes des familles composées par ses parties positive et négative : \sum_{k \in I} u_k = \sum_{k \in I} u_k^+ - \sum_{k \in I} u_k^- où u_k^+ = \max(u_k, 0) et u_k^- = \max(-u_k, 0).
Cas complexe : Dans le cas général, sa somme est définie par : \sum_{k \in I} u_k = \sum_{k \in I} \mathrm{Re}(u_k) + i \sum_{k \in I} \mathrm{Im}(u_k)
Proposition 3.7 — (Lien avec la convergence absolue)
Lorsque I = \mathbb{N}, la suite (u_n)_{n \in \mathbb{N}} est sommable si et seulement si la série \sum_n u_n est absolument convergente, auquel cas : \sum_{n \in \mathbb{N}} u_n = \sum_{n=0}^{+\infty} u_n
Proposition 3.8 — (Invariance par permutation)
Soit \sigma : I \to I une bijection. Alors la famille (v_i)_{i \in I} est sommable si et seulement si la famille (v_{\sigma(j)})_{j \in I} est sommable, auquel cas : \sum_{j \in I} v_{\sigma(j)} = \sum_{i \in I} v_i
3.6 Espace vectoriel des familles sommables
Proposition 3.9 — (Espace \boldsymbol{\ell^1(I)})
L’ensemble des familles sommables d’éléments de \mathbb{K}, noté \ell^1(I), est un \mathbb{K}-espace vectoriel. La somme est linéaire et on a l’inégalité triangulaire :
Si la famille (u_i)_{i \in I} est sommable, alors : \left|\sum_{i \in I} u_i\right| \leq \sum_{i \in I} |u_i|
Proposition 3.10 — (Sous-famille d’une famille sommable)
Toute sous-famille d’une famille sommable est sommable.
3.7 Théorème de sommation par paquets pour les familles complexes
Théorème 3.2 — (Sommation par paquets)
Si I est réunion disjointe des I_j pour j \in J, et si (u_i)_{i \in I} est une famille sommable de complexes, alors : \sum_{i \in I} u_i = \sum_{j \in J} \left(\sum_{i \in I_j} u_i\right)
En particulier, la famille \left(\sum_{i \in I_j} u_i\right)_{j \in J} est sommable et elle a la même somme que (u_i)_{i \in I}.
3.8 Théorème de Fubini pour les familles
Théorème 3.3 — (Théorème de Fubini)
Si la famille (u_{m,n})_{(m,n) \in \mathbb{N}^2} de complexes est sommable, alors : \sum_{n=0}^{+\infty} \left(\sum_{m=0}^{+\infty} u_{m,n}\right) = \sum_{m=0}^{+\infty} \left(\sum_{n=0}^{+\infty} u_{m,n}\right) = \sum_{(m,n) \in \mathbb{N}^2} u_{m,n}
3.9 Produit de familles sommables
Proposition 3.11
Si (u_i)_{i \in I} et (v_j)_{j \in J} sont sommables, alors la famille (u_i v_j)_{(i,j) \in I \times J} est sommable et : \sum_{(i,j) \in I \times J} u_i v_j = \left(\sum_{i \in I} u_i\right) \left(\sum_{j \in J} v_j\right)
4 Produit de Cauchy
4.1 Définition
Définition 4.1 — (Produit de Cauchy)
Soient \sum_{n \geq 0} a_n et \sum_{n \geq 0} b_n deux séries numériques. On appelle série produit de Cauchy des séries \sum_{n \geq 0} a_n et \sum_{n \geq 0} b_n la série \sum_{n \geq 0} c_n où : c_n = \sum_{k=0}^n a_k b_{n-k}
4.2 Produit de Cauchy de deux séries absolument convergentes
Théorème 4.1
Si les séries \sum_{n \geq 0} a_n et \sum_{n \geq 0} b_n sont absolument convergentes, alors la série \sum_{n \geq 0} c_n est absolument convergente et on a : \sum_{n=0}^{+\infty} c_n = \left(\sum_{n=0}^{+\infty} a_n\right) \left(\sum_{n=0}^{+\infty} b_n\right)
Exemple 4.1 — (Application à la fonction exponentielle)
On admet que pour x \in \mathbb{R}, la série \sum_{k=0}^{+\infty} \frac{x^k}{k!} converge et vaut \exp(x).
Que vaut la série produit associée à \exp(a) \times \exp(b) ? En utilisant la formule du binôme de Newton : c_n = \sum_{k=0}^n \frac{a^k}{k!} \cdot \frac{b^{n-k}}{(n-k)!} = \frac{1}{n!} \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} a^k b^{n-k} = \frac{(a+b)^n}{n!}
Donc : \exp(a) \cdot \exp(b) = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(a+b)^n}{n!} = \exp(a+b)
4.3 Produit de Cauchy dans une \mathbb{K}-algèbre
Proposition 4.1
Soient \sum a_n et \sum b_n deux séries absolument convergentes à valeurs dans une \mathbb{K}-algèbre de dimension finie. Alors la série produit \sum c_n est absolument convergente et : \sum_{n=0}^{+\infty} c_n = \left(\sum_{n=0}^{+\infty} a_n\right) \cdot \left(\sum_{n=0}^{+\infty} b_n\right)
5 Exercices
Exercice 5.1
Soit A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R}) telle que \|A\|_\infty < 1. Montrer que I_n - A est inversible et calculer (I_n - A)^{-1}.
Exercice 5.2
Soit (u_n) une suite d’éléments de E telle que \sum \|u_n\| converge. Montrer que \sum u_n converge et que : \left\|\sum_{n=0}^{+\infty} u_n\right\| \leq \sum_{n=0}^{+\infty} \|u_n\|
Exercice 5.3
Soit (u_{m,n})_{(m,n) \in \mathbb{N}^2} définie par u_{m,n} = \frac{1}{(m+n+1)(m+n+2)}. Montrer que la famille (u_{m,n}) est sommable et calculer sa somme.
Exercice 5.4
Soient a, b \in \mathbb{R} tels que |a| < 1 et |b| < 1. Calculer : \sum_{n=0}^{+\infty} \sum_{m=0}^{+\infty} a^m b^n
Exercice 5.5
Soit f : \mathbb{N}^2 \to \mathbb{R}_+ définie par f(m,n) = \frac{1}{(m+1)(n+1)(m+n+2)}. Montrer que la famille (f(m,n)) est sommable.
Exercice 5.6 — (Produit de Cauchy)
Soient \sum a_n et \sum b_n deux séries absolument convergentes. Montrer que la série produit \sum c_n est absolument convergente.
Exercice 5.7
Soit (u_i)_{i \in I} une famille sommable de complexes. Montrer que pour toute sous-famille J \subset I, la famille (u_i)_{i \in J} est sommable.
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Chapitre 04 : Séries dans un espace vectoriel normé et familles sommables