Fonctions vectorielles d’une variable réelle, arcs paramétrés

Chapitre 05

Auteur·rice

Saîd MAHARI

Date de publication

22 août 2026

MP (2e année) — Chapitre 05. Dérivation, intégration sur un segment, arc paramétré de classe \mathcal{C}^k.

Ce chapitre a été réalisé conformément au programme marocain de mathématiques de la filière MP.

Dans tout ce chapitre, I désigne un intervalle de \mathbb{R} non vide et non réduit à un point, n \geq 1 un entier, E un \mathbb{K}-espace vectoriel normé de dimension finie n (\mathbb{K} = \mathbb{R} ou \mathbb{C}), et \mathcal{B} = (e_1, \ldots, e_n) une base de E.

1 Fonctions vectorielles d’une variable réelle

1.1 Définitions

Définition 1.1 — (Fonction vectorielle)

On appelle fonction vectorielle sur I toute application f : I \to E où E est un espace vectoriel normé de dimension finie.

Si \mathcal{B} = (e_1, \ldots, e_n) est une base de E, les fonctions composantes de f dans \mathcal{B} sont les applications f_1, \ldots, f_n : I \to \mathbb{K} définies par : f(t) = f_1(t) e_1 + f_2(t) e_2 + \cdots + f_n(t) e_n

En particulier, pour E = \mathbb{R}^n muni de la base canonique, on identifie f à un n-uplet de fonctions : f(t) = (f_1(t), f_2(t), \ldots, f_n(t))

Exemple 1.1

  1. La fonction f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}^2 définie par f(t) = (\cos t, \sin t) est une fonction vectorielle à deux composantes.

  2. La fonction g : \mathbb{R} \to \mathbb{R}^3 définie par g(t) = (t, t^2, t^3) est une fonction vectorielle à trois composantes.

1.2 Continuité

Définition 1.2 — (Continuité d’une fonction vectorielle)

Une fonction vectorielle f : I \to E est continue en t_0 \in I si : \lim_{t \to t_0} \|f(t) - f(t_0)\| = 0

f est continue sur I si elle est continue en tout point de I.

Proposition 1.1 — (Caractérisation de la continuité par les composantes)

f : I \to E est continue en t_0 si et seulement si toutes ses fonctions composantes f_1, \ldots, f_n sont continues en t_0.

Exemple 1.2

La fonction f(t) = (\cos t, \sin t) est continue sur \mathbb{R} car \cos et \sin sont continues sur \mathbb{R}.

1.3 Dérivabilité et dérivée

Définition 1.3 — (Dérivabilité et dérivée)

Soit f : I \to E une fonction vectorielle et t_0 \in I (qui n’est pas une extrémité de I). On dit que f est dérivable en t_0 si la limite suivante existe : f'(t_0) = \lim_{t \to t_0} \frac{f(t) - f(t_0)}{t - t_0} = \lim_{h \to 0} \frac{f(t_0 + h) - f(t_0)}{h}

La fonction f' ainsi définie (lorsqu’elle existe partout sur I) est appelée la dérivée de f.

Proposition 1.2 — (Caractérisation de la dérivabilité par les composantes)

f : I \to E est dérivable en t_0 si et seulement si toutes ses fonctions composantes f_1, \ldots, f_n sont dérivables en t_0. Dans ce cas : f'(t_0) = f_1'(t_0) e_1 + f_2'(t_0) e_2 + \cdots + f_n'(t_0) e_n

Exemple 1.3

Pour f(t) = (\cos t, \sin t), on a f'(t) = (-\sin t, \cos t).

Pour g(t) = (t, t^2, t^3), on a g'(t) = (1, 2t, 3t^2).

Définition 1.4 — (Dérivées à droite et à gauche)

Pour t_0 une extrémité de I, on définit la dérivée à droite (resp. à gauche) par : f'_d(t_0) = \lim_{t \to t_0^+} \frac{f(t) - f(t_0)}{t - t_0} \quad \left(\text{resp. } f'_g(t_0) = \lim_{t \to t_0^-} \frac{f(t) - f(t_0)}{t - t_0}\right)

1.4 Classes \mathcal{C}^k

Définition 1.5 — (Classes \boldsymbol{\mathcal{C}^k})

Soit k \in \mathbb{N}^* \cup \{+\infty\}.

  • f : I \to E est de classe \mathcal{C}^1 sur I si f est dérivable sur I et f' est continue sur I.
  • f est de classe \mathcal{C}^k sur I si f^{(k)} existe et est continue sur I.
  • f est de classe \mathcal{C}^\infty si f est de classe \mathcal{C}^k pour tout k \in \mathbb{N}^*.

On note \mathcal{C}^k(I, E) l’espace vectoriel des fonctions de classe \mathcal{C}^k sur I à valeurs dans E.

Proposition 1.3

f est de classe \mathcal{C}^k sur I si et seulement si toutes ses composantes f_1, \ldots, f_n sont de classe \mathcal{C}^k sur I.

1.5 Opérations sur les fonctions vectorielles

Proposition 1.4 — (Combinaison linéaire)

Soient f, g : I \to E dérivables en t_0 et \lambda, \mu \in \mathbb{K}. Alors \lambda f + \mu g est dérivable en t_0 et : (\lambda f + \mu g)'(t_0) = \lambda f'(t_0) + \mu g'(t_0)

Proposition 1.5 — (Produit par une fonction scalaire)

Soient f : I \to E dérivable en t_0 et \varphi : I \to \mathbb{K} dérivable en t_0. Alors \varphi \cdot f est dérivable en t_0 et : (\varphi \cdot f)'(t_0) = \varphi'(t_0) \cdot f(t_0) + \varphi(t_0) \cdot f'(t_0)

Proposition 1.6 — (Dérivation de \boldsymbol{f \circ \varphi})

Soient f : I \to E dérivable en u_0 \in I et \varphi : J \to I dérivable en t_0 \in J avec \varphi(t_0) = u_0. Alors f \circ \varphi est dérivable en t_0 et : (f \circ \varphi)'(t_0) = \varphi'(t_0) \cdot f'(u_0)

Proposition 1.7 — (Dérivation d’un produit scalaire dans un espace préhilbertien)

Soient f, g : I \to E dérivables en t_0, où E est un espace préhilbertien réel. Alors la fonction t \mapsto \langle f(t), g(t) \rangle est dérivable en t_0 et : \frac{d}{dt}\langle f(t), g(t) \rangle \bigg|_{t=t_0} = \langle f'(t_0), g(t_0) \rangle + \langle f(t_0), g'(t_0) \rangle

Corollaire 1.1 — (Dérivation de la norme)

Si f : I \to E est dérivable en t_0 et f(t_0) \neq 0_E, alors t \mapsto \|f(t)\| est dérivable en t_0 et : \frac{d}{dt}\|f(t)\| \bigg|_{t=t_0} = \frac{\langle f'(t_0), f(t_0) \rangle}{\|f(t_0)\|}

1.6 Interprétation géométrique et cinématique

Définition 1.6 — (Interprétation cinématique)

Soit f : I \to \mathbb{R}^n une fonction vectorielle.

  • f(t_0) est la position à l’instant t_0.
  • f'(t_0) est la vitesse à l’instant t_0.
  • f''(t_0) est l’accélération à l’instant t_0.

Proposition 1.8 — (Interprétation géométrique)

Si f : I \to \mathbb{R}^n est dérivable en t_0 et f'(t_0) \neq 0, la droite : D : M = f(t_0) + \lambda \cdot f'(t_0), \quad \lambda \in \mathbb{R} est la tangente à la courbe décrite par f au point f(t_0).

Exemple 1.4

Pour f(t) = (\cos t, \sin t), la courbe décrite est le cercle unité. La tangente en f(t_0) = (\cos t_0, \sin t_0) est dirigée par f'(t_0) = (-\sin t_0, \cos t_0), qui est bien perpendiculaire au rayon f(t_0).

2 Intégration d’une fonction vectorielle sur un segment

2.1 Définition

Définition 2.1 — (Intégrale d’une fonction vectorielle continue par morceaux)

Soit f : [a,b] \to E une fonction continue par morceaux. On définit l’intégrale de f sur [a,b] par : \int_a^b f(t)\, dt = \left(\int_a^b f_1(t)\, dt\right) e_1 + \cdots + \left(\int_a^b f_n(t)\, dt\right) e_n où f_1, \ldots, f_n sont les composantes de f dans la base \mathcal{B}.

Proposition 2.1

Cette définition ne dépend pas du choix de la base \mathcal{B}.

2.2 Propriétés

Proposition 2.2 — (Linéarité)

Soient f, g : [a,b] \to E continues par morceaux et \lambda, \mu \in \mathbb{K}. Alors : \int_a^b (\lambda f + \mu g)(t)\, dt = \lambda \int_a^b f(t)\, dt + \mu \int_a^b g(t)\, dt

Proposition 2.3 — (Relation de Chasles)

Pour tout c \in [a,b] : \int_a^b f(t)\, dt = \int_a^c f(t)\, dt + \int_c^b f(t)\, dt

Proposition 2.4 — (Inégalité triangulaire)

\left\|\int_a^b f(t)\, dt\right\| \leq \int_a^b \|f(t)\|\, dt

Proposition 2.5 — (Intégration par parties)

Soient f : [a,b] \to E de classe \mathcal{C}^1 et \varphi : [a,b] \to \mathbb{K} de classe \mathcal{C}^1. Alors : \int_a^b \varphi'(t) f(t)\, dt = [\varphi(t) f(t)]_a^b - \int_a^b \varphi(t) f'(t)\, dt

Proposition 2.6 — (Changement de variable)

Soient f : [a,b] \to E continue par morceaux et \varphi : [c,d] \to [a,b] de classe \mathcal{C}^1. Alors : \int_a^b f(t)\, dt = \int_c^d f(\varphi(u)) \varphi'(u)\, du

Proposition 2.7 — (Théorème fondamental du calcul intégral)

Si f : [a,b] \to E est continue, la fonction : F(x) = \int_a^x f(t)\, dt est de classe \mathcal{C}^1 sur [a,b] et F' = f.

Exemple 2.1

Calculons \int_0^{\pi/2} (\cos t, \sin t)\, dt.

\int_0^{\pi/2} \cos t\, dt = [\sin t]_0^{\pi/2} = 1, \quad \int_0^{\pi/2} \sin t\, dt = [-\cos t]_0^{\pi/2} = 1

Donc : \int_0^{\pi/2} (\cos t, \sin t)\, dt = (1, 1)

3 Arcs paramétrés

3.1 Définitions

Définition 3.1 — (Arc paramétré)

Soit k \in \mathbb{N}^* \cup \{+\infty\}. Un arc paramétré (ou courbe paramétrée) de classe \mathcal{C}^k dans \mathbb{R}^n (n \leq 3) est une application \gamma : I \to \mathbb{R}^n de classe \mathcal{C}^k, où I est un intervalle de \mathbb{R}.

  • I est l’intervalle de définition de l’arc.
  • L’image \gamma(I) est le support de l’arc (ou la courbe associée, ou la trajectoire).

Définition 3.2 — (Arc simple)

Un arc paramétré \gamma est dit simple si \gamma est injective, c’est-à-dire si la courbe ne se recoupe pas.

Définition 3.3 — (Paramètre régulier, point singulier, point birégulier)

  1. Un paramètre t_0 est dit régulier si \gamma'(t_0) \neq 0.
  2. Un paramètre t_0 est dit singulier si \gamma'(t_0) = 0.
  3. Un paramètre t_0 est dit birégulier si \gamma'(t_0) et \gamma''(t_0) sont linéairement indépendants.

3.2 Tangente en un point

Proposition 3.1 — (Tangente en un point régulier)

Soit \gamma : I \to \mathbb{R}^n un arc paramétré de classe \mathcal{C}^1 et t_0 \in I un paramètre régulier (\gamma'(t_0) \neq 0). Alors la tangente à l’arc au point \gamma(t_0) est la droite : D : M = \gamma(t_0) + \lambda \cdot \gamma'(t_0), \quad \lambda \in \mathbb{R}

Proposition 3.2 — (Cas où \boldsymbol{\gamma'(t_0) = 0})

Si \gamma'(t_0) = 0 mais qu’il existe un entier p \geq 2 tel que \gamma^{(p)}(t_0) \neq 0, alors la tangente est dirigée par \gamma^{(p)}(t_0) (premier vecteur dérivé non nul).

Définition 3.4 — (Normale)

Si \gamma : I \to \mathbb{R}^2 est un arc paramétré plan et t_0 un paramètre régulier, la normale à l’arc au point \gamma(t_0) est la droite perpendiculaire à la tangente en ce point.

Exemple 3.1

Pour l’arc \gamma(t) = (\cos t, \sin t), on a \gamma'(t) = (-\sin t, \cos t) \neq 0 pour tout t. La tangente en \gamma(t_0) est dirigée par \gamma'(t_0) et la normale est dirigée par \gamma(t_0) = (\cos t_0, \sin t_0).

3.3 Étude locale en un point birégulier

Proposition 3.3 — (Étude locale en un point birégulier)

Soit \gamma : I \to \mathbb{R}^n un arc paramétré de classe \mathcal{C}^2 et t_0 un paramètre birégulier. En effectuant un développement limité à l’ordre 2 : \gamma(t_0 + h) = \gamma(t_0) + h \gamma'(t_0) + \frac{h^2}{2} \gamma''(t_0) + o(h^2)

La courbe admet au voisinage de \gamma(t_0) :

  • La tangente dirigée par \gamma'(t_0).
  • La courbe est du côté de \gamma''(t_0) par rapport à la tangente (pour h petit).

Exemple 3.2

Pour \gamma(t) = (t, t^2) au point t_0 = 0 : - \gamma(0) = (0, 0) - \gamma'(0) = (1, 0) (tangente : l’axe des x) - \gamma''(0) = (0, 2) (la parabole s’ouvre vers le haut)

3.4 Longueur d’un arc paramétré

Définition 3.5 — (Longueur d’un arc)

Soit \gamma : [a,b] \to \mathbb{R}^n un arc paramétré de classe \mathcal{C}^1. La longueur de l’arc est : L(\gamma) = \int_a^b \|\gamma'(t)\|\, dt

Exemple 3.3

Pour \gamma(t) = (\cos t, \sin t) avec t \in [0, 2\pi] : \|\gamma'(t)\| = \sqrt{(-\sin t)^2 + (\cos t)^2} = 1 L(\gamma) = \int_0^{2\pi} 1\, dt = 2\pi C’est bien la circonférence du cercle unité.

Exemple 3.4

Pour \gamma(t) = (t, t^2) avec t \in [0, 1] : \|\gamma'(t)\| = \sqrt{1 + 4t^2} L(\gamma) = \int_0^1 \sqrt{1 + 4t^2}\, dt = \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{1}{4}\ln(2 + \sqrt{5})

4 Exemples d’arcs paramétrés

4.1 Cercle

Exemple 4.1

\gamma(t) = (a\cos t, a\sin t), t \in [0, 2\pi] décrit le cercle de centre O et de rayon a.

  • \gamma'(t) = (-a\sin t, a\cos t) \neq 0 pour tout t : arc régulier.
  • \gamma''(t) = (-a\cos t, -a\sin t).
  • \gamma'(t) et \gamma''(t) sont linéairement indépendants : arc birégulier.

4.2 Hélice circulaire

Exemple 4.2

\gamma(t) = (a\cos t, a\sin t, bt), t \in \mathbb{R} décrit une hélice circulaire de rayon a et de pas 2\pi b.

  • \gamma'(t) = (-a\sin t, a\cos t, b) \neq 0 : arc régulier.
  • \|\gamma'(t)\| = \sqrt{a^2 + b^2} : la vitesse est constante.

4.3 Parabole

Exemple 4.3

\gamma(t) = (t, t^2), t \in \mathbb{R} décrit la parabole d’équation y = x^2.

  • \gamma'(t) = (1, 2t) \neq 0 : arc régulier.
  • \gamma''(t) = (0, 2).

4.4 Folium de Descartes

Exemple 4.4

\gamma(t) = \left(\frac{t}{1+t^2}, \frac{t^2}{1+t^2}\right) décrit une portion de cercle.

On vérifie que : \gamma_1(t)^2 + \gamma_2(t)^2 = \frac{t^2 + t^4}{(1+t^2)^2} = \frac{t^2(1+t^2)}{(1+t^2)^2} = \frac{t^2}{1+t^2}

5 Exercices

Exercice 5.1

Soit f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}^2 définie par f(t) = (e^t \cos t, e^t \sin t).

  1. Calculer f'(t) et \|f'(t)\|.
  2. Déterminer la tangente à la courbe au point f(0).
  3. Calculer la longueur de l’arc entre t = 0 et t = \ln 2.

Exercice 5.2

Soit \gamma : [0, 2\pi] \to \mathbb{R}^2 définie par \gamma(t) = (\cos 2t, \sin 3t).

  1. Étudier la parité et la périodicité des composantes.
  2. Déterminer les points singuliers de l’arc.
  3. Calculer \gamma'(t) et déterminer la tangente en un point régulier.

Exercice 5.3

Soit f : [0, 1] \to \mathbb{R}^3 définie par f(t) = (t, t^2, t^3).

  1. Calculer f'(t) et f''(t).
  2. Montrer que l’arc est régulier.
  3. Calculer la longueur de l’arc entre t = 0 et t = 1 (on pourra donner une valeur approchée).

Exercice 5.4

Soient f, g : I \to \mathbb{R}^3 de classe \mathcal{C}^1. Montrer que : \frac{d}{dt}\langle f(t), g(t) \rangle = \langle f'(t), g(t) \rangle + \langle f(t), g'(t) \rangle

Exercice 5.5

Soit \gamma : [0, +\infty[ \to \mathbb{R}^2 définie par \gamma(t) = (t \cos t, t \sin t).

  1. Calculer \gamma'(t) et montrer que l’arc est régulier.
  2. Calculer la longueur de l’arc entre t = 0 et t = 2\pi.
  3. Interpréter géométriquement la courbe (spirale d’Archimède).

Exercice 5.6

Soit \gamma : \mathbb{R} \to \mathbb{R}^2 définie par \gamma(t) = (3\cos t, 2\sin t).

  1. Montrer que l’arc décrit une ellipse.
  2. Calculer \gamma'(t) et déterminer les points où la tangente est horizontale.
  3. Calculer la longueur de l’arc entre t = 0 et t = \pi/2.

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Chapitre 05 : Fonctions vectorielles d’une variable réelle, arcs paramétrés

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