Suites et séries de fonctions
Chapitre 06
MP (2e année) — Chapitre 06. Modes de convergence : simple, uniforme, normale ; stabilité des propriétés (continuité, dérivabilité, intégrabilité) par passage à la limite ; approximation uniforme.
Ce chapitre a été réalisé conformément au programme marocain de mathématiques de la filière MP.
Dans tout ce chapitre, X désigne un ensemble non vide, I un intervalle de \mathbb{R}, E un \mathbb{K}-espace vectoriel normé de dimension finie (\mathbb{K} = \mathbb{R} ou \mathbb{C}), et \mathcal{F}(X, E) l’ensemble des fonctions de X dans E.
1 Norme de la convergence uniforme
1.1 Fonctions bornées
Définition 1.1 — (Fonction bornée)
Une fonction f : X \to E est dite bornée si l’ensemble \{f(x) \mid x \in X\} est borné dans E, c’est-à-dire s’il existe M > 0 tel que : \forall x \in X, \quad \|f(x)\| \leq M
On note \mathcal{B}(X, E) l’ensemble des fonctions bornées de X dans E.
Définition 1.2 — (Norme de la convergence uniforme)
Pour f \in \mathcal{B}(X, E), on définit : \|f\|_\infty = \sup_{x \in X} \|f(x)\|
L’application f \mapsto \|f\|_\infty est une norme sur \mathcal{B}(X, E), appelée norme de la convergence uniforme (ou norme infinie).
Proposition 1.1 — (Propriétés de la norme)
Pour f, g \in \mathcal{B}(X, E) et \lambda \in \mathbb{K} :
- \|f\|_\infty = 0 \iff f = 0
- \|\lambda f\|_\infty = |\lambda| \cdot \|f\|_\infty
- \|f + g\|_\infty \leq \|f\|_\infty + \|g\|_\infty (inégalité triangulaire)
2 Suites de fonctions
2.1 Convergence simple
Définition 2.1 — (Convergence simple)
Soit (f_n)_{n \geq 0} une suite de fonctions de X dans E. On dit que la suite (f_n) converge simplement vers une fonction f : X \to E si : \forall x \in X, \quad f_n(x) \xrightarrow[n \to +\infty]{} f(x)
Autrement dit, pour tout x \in X et tout \varepsilon > 0, il existe N \in \mathbb{N} (qui dépend de x et de \varepsilon) tel que : n \geq N \implies \|f_n(x) - f(x)\| < \varepsilon
Remarque. La convergence simple est une convergence point par point. Pour chaque x, on a une suite numérique (f_n(x)) qui converge. Mais le rang à partir duquel la convergence a lieu peut dépendre de x.
Exemple 2.1
La suite f_n(x) = x^n sur [0, 1] converge simplement vers la fonction : f(x) = \begin{cases} 0 & \text{si } 0 \leq x < 1 \\ 1 & \text{si } x = 1 \end{cases}
En effet, pour 0 \leq x < 1, x^n \to 0, et pour x = 1, 1^n = 1.
2.2 Convergence uniforme
Définition 2.2 — (Convergence uniforme)
Soit (f_n)_{n \geq 0} une suite de fonctions de X dans E. On dit que la suite (f_n) converge uniformément vers une fonction f : X \to E si : \forall \varepsilon > 0, \quad \exists N \in \mathbb{N}, \quad \forall n \geq N, \quad \forall x \in X, \quad \|f_n(x) - f(x)\| < \varepsilon
Autrement dit, le rang N ne dépend que de \varepsilon, pas de x.
Remarque. La convergence uniforme est plus forte que la convergence simple : on exige que la convergence ait lieu uniformément en x, c’est-à-dire avec le même rang N pour tous les x.
Proposition 2.1 — (Convergence uniforme en termes de norme)
La suite (f_n) converge uniformément vers f si et seulement si : f_n - f \in \mathcal{B}(X, E) \text{ à partir d'un certain rang} \quad \text{et} \quad \|f_n - f\|_\infty \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0
Exemple 2.2
La suite f_n(x) = \frac{x}{n} sur \mathbb{R} converge uniformément vers 0 sur tout intervalle borné [a,b], mais pas sur \mathbb{R} tout entier.
Sur \mathbb{R} : \sup_{x \in \mathbb{R}} \left|\frac{x}{n}\right| = +\infty, donc \|f_n\|_\infty = +\infty.
2.3 Lien entre convergence simple et convergence uniforme
Proposition 2.2
La convergence uniforme implique la convergence simple.
Preuve. Si (f_n) converge uniformément vers f, alors pour tout \varepsilon > 0, il existe N tel que pour tout n \geq N et tout x \in X : \|f_n(x) - f(x)\| < \varepsilon En particulier, pour tout x fixé, on a f_n(x) \to f(x).
Exemple 2.3 — (Contre-exemple : convergence simple non uniforme)
La suite f_n(x) = x^n sur [0,1] converge simplement vers : f(x) = \begin{cases} 0 & \text{si } 0 \leq x < 1 \\ 1 & \text{si } x = 1 \end{cases}
Cette convergence n’est pas uniforme. En effet : \|f_n - f\|_\infty = \sup_{x \in [0,1]} |f_n(x) - f(x)| \geq \sup_{x \in [0,1)} x^n = 1
3 Séries de fonctions
3.1 Convergence simple d’une série
Définition 3.1 — (Convergence simple d’une série)
Soit (u_n)_{n \geq 0} une suite de fonctions de X dans E. On appelle série de fonctions de terme général u_n la suite (S_n)_{n \geq 0} définie par : S_n = \sum_{k=0}^n u_k
La série converge simplement sur X si pour tout x \in X, la série numérique \sum u_n(x) converge. La somme est : S(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} u_n(x)
3.2 Convergence uniforme d’une série
Définition 3.2 — (Convergence uniforme d’une série)
La série \sum u_n converge uniformément sur X vers S si la suite (S_n) des sommes partielles converge uniformément vers S sur X.
Proposition 3.1
La série \sum u_n converge uniformément sur X si et seulement si la suite des restes (R_n) définie par : R_n(x) = \sum_{k=n+1}^{+\infty} u_k(x) converge uniformément vers 0 sur X, c’est-à-dire : \|R_n\|_\infty \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0
3.3 Convergence normale
Définition 3.3 — (Convergence normale)
On dit que la série \sum u_n converge normalement sur X si la série numérique \sum \|u_n\|_\infty converge, c’est-à-dire si : \sum_{n=0}^{+\infty} \sup_{x \in X} \|u_n(x)\| < +\infty
Proposition 3.2 — (Convergence normale implique convergence uniforme)
La convergence normale implique la convergence uniforme (et donc la convergence simple).
Preuve. Supposons que \sum \|u_n\|_\infty converge. Pour tout x \in X : \|u_n(x)\| \leq \|u_n\|_\infty Par le critère de comparaison, \sum u_n(x) converge absolument. De plus, pour les restes : \|R_n(x)\| = \left\|\sum_{k=n+1}^{+\infty} u_k(x)\right\| \leq \sum_{k=n+1}^{+\infty} \|u_n(x)\| \leq \sum_{k=n+1}^{+\infty} \|u_k\|_\infty Donc \|R_n\|_\infty \leq \sum_{k=n+1}^{+\infty} \|u_k\|_\infty \to 0.
Proposition 3.3 — (Critère de convergence normale)
Pour établir la convergence normale d’une série de fonctions \sum u_n, il suffit de trouver une série numérique convergente \sum \alpha_n telle que : \forall n \in \mathbb{N}, \quad \|u_n\|_\infty \leq \alpha_n
Exemple 3.1
La série \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{x^n}{n!} converge normalement sur tout segment [-A, A] car : \left\|\frac{x^n}{n!}\right\|_\infty \leq \frac{A^n}{n!} et la série \sum \frac{A^n}{n!} converge (série entière de rayon infini).
4 Stabilité des propriétés par passage à la limite
4.1 Continuité de la limite
Théorème 4.1 — (Théorème de continuité de la limite uniforme)
Soit (f_n)_{n \geq 0} une suite de fonctions de X dans E qui converge uniformément vers f sur X. Si chaque f_n est continue en un point x_0 \in X, alors f est continue en x_0.
En particulier, si chaque f_n est continue sur X, alors f est continue sur X.
Preuve. Soit \varepsilon > 0. Par convergence uniforme, il existe N \in \mathbb{N} tel que pour tout n \geq N et tout x \in X : \|f_n(x) - f(x)\| < \frac{\varepsilon}{3}
Par continuité de f_N en x_0, il existe \delta > 0 tel que pour tout x \in X avec \|x - x_0\| < \delta : \|f_N(x) - f_N(x_0)\| < \frac{\varepsilon}{3}
Donc pour tout x \in X avec \|x - x_0\| < \delta : \|f(x) - f(x_0)\| \leq \|f(x) - f_N(x)\| + \|f_N(x) - f_N(x_0)\| + \|f_N(x_0) - f(x_0)\| < \frac{\varepsilon}{3} + \frac{\varepsilon}{3} + \frac{\varepsilon}{3} = \varepsilon
Exemple 4.1 — (Contre-exemple : convergence simple ne préserve pas la continuité)
La suite f_n(x) = x^n sur [0,1] est composée de fonctions continues mais converge simplement vers : f(x) = \begin{cases} 0 & \text{si } 0 \leq x < 1 \\ 1 & \text{si } x = 1 \end{cases} qui n’est pas continue en x = 1.
4.2 Continuité de la somme d’une série
Corollaire 4.1 — (Continuité de la somme)
Si la série \sum u_n converge uniformément sur X vers S et si chaque u_n est continue sur X, alors S est continue sur X.
4.3 Intégration de la limite
Théorème 4.2 — (Interversion limite-intégrale)
Soit (f_n)_{n \geq 0} une suite de fonctions continues de [a,b] dans \mathbb{K} qui converge uniformément vers f sur [a,b]. Alors f est continue sur [a,b] et : \int_a^b f(t)\, dt = \lim_{n \to +\infty} \int_a^b f_n(t)\, dt
Preuve. Par le théorème de continuité de la limite uniforme, f est continue. Par l’inégalité triangulaire : \left|\int_a^b f(t)\, dt - \int_a^b f_n(t)\, dt\right| = \left|\int_a^b (f(t) - f_n(t))\, dt\right| \leq \int_a^b |f(t) - f_n(t)|\, dt \leq (b-a)\|f - f_n\|_\infty Comme \|f - f_n\|_\infty \to 0, on conclut.
Corollaire 4.2 — (Intégration terme à terme)
Si la série \sum u_n converge uniformément sur [a,b] vers S et si chaque u_n est continue sur [a,b], alors : \int_a^b S(t)\, dt = \sum_{n=0}^{+\infty} \int_a^b u_n(t)\, dt
4.4 Dérivation de la limite
Théorème 4.3 — (Dérivation de la limite)
Soit (f_n)_{n \geq 0} une suite de fonctions de classe \mathcal{C}^1 sur I telles que :
- La suite (f_n) converge simplement sur I vers une fonction f.
- La suite (f_n') converge uniformément sur tout segment contenu dans I vers une fonction g.
Alors f est de classe \mathcal{C}^1 sur I et f' = g.
Corollaire 4.3 — (Dérivation terme à terme)
Soit \sum u_n une série de fonctions de classe \mathcal{C}^1 sur I telle que :
- La série \sum u_n(x_0) converge en au moins un point x_0 \in I.
- La série \sum u_n' converge uniformément sur tout segment contenu dans I.
Alors la série \sum u_n converge uniformément sur tout segment contenu dans I vers une fonction S de classe \mathcal{C}^1 sur I, et : S'(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} u_n'(x)
Le théorème de dérivation s’étend aux fonctions de classe \mathcal{C}^k : si les suites (f_n^{(p)}) convergent simplement pour p = 0, \ldots, k-1 et (f_n^{(k)}) converge uniformément sur tout segment, alors la limite est de classe \mathcal{C}^k et f^{(k)} = \lim f_n^{(k)}.
5 Approximation uniforme
5.1 Théorème de Weierstrass
Théorème 5.1 — (Théorème de Weierstrass, admis)
Soit f : [a,b] \to \mathbb{K} une fonction continue. Alors il existe une suite de polynômes (P_n)_{n \geq 0} qui converge uniformément vers f sur [a,b].
Remarque. Ce théorème montre que les polynômes sont denses dans l’espace \mathcal{C}([a,b], \mathbb{K}) muni de la norme de la convergence uniforme. En d’autres termes, toute fonction continue sur un segment peut être approchée uniformément par des polynômes à une précision arbitraire.
Plus généralement, toute fonction continue sur un segment [a,b] peut être approchée uniformément par : - des fonctions polynômiales (théorème de Weierstrass), - des sommes trigonométriques (théorème de Fejér), - des fonctions en escalier (en particulier, les fonctions continues par morceaux sont limites uniformes de fonctions en escalier).
5.2 Exemples d’approximation
Exemple 5.1
La suite des polynômes de Bernstein : B_n(f)(x) = \sum_{k=0}^n f\left(\frac{k}{n}\right) \binom{n}{k} x^k (1-x)^{n-k} converge uniformément vers f sur [0,1] pour toute fonction continue f.
Exemple 5.2
La fonction f(x) = |x| sur [-1,1] peut être approchée uniformément par des polynômes, bien qu’elle ne soit pas dérivable en 0.
6 Exercices
Exercice 6.1
Étudier la convergence simple et uniforme de la suite (f_n) définie sur [0,1] par : f_n(x) = \frac{nx}{1 + n^2 x^2}
Exercice 6.2
Étudier la convergence simple et uniforme de la suite (f_n) définie sur \mathbb{R}^+ par : f_n(x) = \frac{x}{1 + nx}
Exercice 6.3
Soit (f_n) une suite de fonctions continues de [0,1] dans \mathbb{R} convergeant uniformément vers f. Montrer que si chaque f_n est positive, alors f est positive.
Exercice 6.4
Étudier la convergence simple et uniforme de la série : \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{x^n}{n} \quad \text{sur } [0, r] \text{ avec } 0 < r < 1
Exercice 6.5
Montrer que la série \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{x^n}{n!} converge normalement sur tout segment de \mathbb{R} et que sa somme est de classe \mathcal{C}^\infty.
Exercice 6.6
Soit (f_n) une suite de fonctions de classe \mathcal{C}^1 sur [0,1] telle que (f_n(0)) converge et (f_n') converge uniformément vers g sur [0,1]. Montrer que (f_n) converge uniformément vers une fonction f de classe \mathcal{C}^1 et que f' = g.