TD — Suites et séries de fonctions
Chapitre 06
MP (2e année) — TD du Chapitre 06. Modes de convergence : simple, uniforme, normale ; stabilité des propriétés par passage à la limite ; approximation uniforme.
Exercice 1
Étudier la convergence simple et uniforme de la suite (f_n) définie sur [0,1] par f_n(x) = x^n.
Exercice 2
Étudier la convergence simple et uniforme de la suite (f_n) définie sur \mathbb{R}^+ par f_n(x) = \dfrac{x}{1+nx}.
Exercice 3
Soit (f_n) une suite de fonctions continues convergeant uniformément vers f. Montrer que f est continue.
Exercice 4
Soit \sum u_n une série de fonctions convergeant normalement sur X. Montrer qu’elle converge uniformément sur X.
Exercice 5
Soit (f_n) une suite de fonctions de classe \mathcal{C}^1 sur I telle que (f_n(x_0)) converge pour un x_0 \in I et (f_n') converge uniformément sur tout segment. Montrer que (f_n) converge uniformément sur tout segment vers une fonction f de classe \mathcal{C}^1 avec f' = \lim f_n'.
Exercice 6
Soit \sum u_n une série de fonctions convergeant uniformément sur [a,b] avec chaque u_n continue. Montrer que : \int_a^b \sum_{n=0}^{+\infty} u_n(x)\, dx = \sum_{n=0}^{+\infty} \int_a^b u_n(x)\, dx
Exercice 7
Étudier la convergence de la série \sum_{n=1}^{+\infty} \dfrac{x^n}{n} sur [0, r] avec 0 < r < 1.
Exercice 8
Montrer que la série \sum_{n=0}^{+\infty} \dfrac{x^n}{n!} converge normalement sur tout segment de \mathbb{R}.
Exercice 9
Soit f : [a,b] \to \mathbb{R} continue. Montrer (théorème de Weierstrass, admis) qu’il existe une suite de polynômes convergeant uniformément vers f.
Exercice 10
Soit (f_n) une suite de fonctions continues sur [0,1] convergeant uniformément vers f. Montrer que si chaque f_n est positive, alors f est positive.