Cours – Variables aléatoires finies
Chapitre 10
ECS (1re année) — Chapitre 10. Lois uniforme, de Bernoulli, binomiale, hypergéométrique ; espérance et variance.
Ce chapitre a été réalisé conformément au programme marocain de mathématiques de la filière ECS.
1 Loi uniforme
Définition 1.1 — (Loi uniforme)
X suit la loi uniforme sur \{1, 2, \ldots, n\}, notée X \hookrightarrow \mathcal{U}(\{1, \ldots, n\}), si : P(X = k) = \frac{1}{n} \quad \text{pour tout } k \in \{1, \ldots, n\}
Proposition 1.1 — (Espérance et variance)
E(X) = \frac{n+1}{2}, \qquad V(X) = \frac{n^2 - 1}{12}
2 Loi de Bernoulli
Définition 2.1 — (Loi de Bernoulli)
X suit la loi de Bernoulli de paramètre p \in [0,1], notée X \hookrightarrow \mathcal{B}(p), si : P(X = 1) = p, \qquad P(X = 0) = 1 - p = q
Proposition 2.1 — (Espérance et variance)
E(X) = p, \qquad V(X) = p(1-p) = pq
3 Loi binomiale
Définition 3.1 — (Loi binomiale)
X suit la loi binomiale de paramètres n et p, notée X \hookrightarrow \mathcal{B}(n,p), si : P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}, \qquad k \in \{0, 1, \ldots, n\}
X compte le nombre de succès dans n expériences de Bernoulli indépendantes de probabilité de succès p.
Proposition 3.1 — (Espérance et variance)
E(X) = np, \qquad V(X) = np(1-p)
Preuve. On écrit X = X_1 + \cdots + X_n où les X_i sont indépendantes et suivent \mathcal{B}(p). Par linéarité : E(X) = \sum_{i=1}^n E(X_i) = np Par indépendance : V(X) = \sum_{i=1}^n V(X_i) = np(1-p)
Proposition 3.2 — (Somme de binomiales)
Si X \hookrightarrow \mathcal{B}(n,p) et Y \hookrightarrow \mathcal{B}(m,p) sont indépendantes, alors X + Y \hookrightarrow \mathcal{B}(n+m, p).
4 Loi hypergéométrique
Définition 4.1 — (Loi hypergéométrique)
Une urne contient N boules dont M blanches. On tire n boules sans remise. Soit X le nombre de boules blanches tirées. Alors X suit la loi hypergéométrique de paramètres (N, M, n) : P(X = k) = \frac{\binom{M}{k}\binom{N-M}{n-k}}{\binom{N}{n}} pour \max(0, n-N+M) \leq k \leq \min(n, M).
Proposition 4.1 — (Espérance)
E(X) = n \cdot \frac{M}{N}
La loi hypergéométrique modélise un tirage sans remise, contrairement à la loi binomiale qui modélise un tirage avec remise. Quand N est grand devant n, la loi hypergéométrique est proche de la loi binomiale \mathcal{B}(n, M/N).
5 Exercices
Exercice 5.1
Soit X \hookrightarrow \mathcal{U}(\{1, 2, 3, 4, 5\}). Calculer E(X) et V(X).
Exercice 5.2
On lance 5 fois une pièce équilibrée. Soit X le nombre de piles.
- Déterminer la loi de X.
- Calculer P(X = 2).
- Calculer P(X \geq 1).
- Calculer E(X) et V(X).
Exercice 5.3
Une urne contient 3 boules rouges et 7 noires. On effectue 4 tirages avec remise. Soit X le nombre de boules rouges.
- Quelle est la loi de X ?
- Calculer P(X = 0) et P(X = 1).
- Calculer E(X) et V(X).
Exercice 5.4
Une urne contient 10 boules : 4 blanches et 6 noires. On tire 3 boules sans remise. Soit X le nombre de blanches.
- Déterminer la loi de X.
- Calculer E(X).
Exercice 5.5
Soient X \hookrightarrow \mathcal{B}(n,p) et Y \hookrightarrow \mathcal{B}(m,p) indépendantes. Montrer que X + Y \hookrightarrow \mathcal{B}(n+m, p).
Exercice 5.6
Soit X \hookrightarrow \mathcal{B}(10, 0{,}3). Calculer P(X = 3), E(X), V(X).
Exercice 5.7
Montrer que \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} = 1.
Exercice 5.8
Une machine produit des pièces avec un taux de défaut de 5\%. On prélève un échantillon de 20 pièces. Soit X le nombre de pièces défectueuses.
- Quelle loi suit X ?
- Calculer P(X = 0) et P(X \geq 1).
- Calculer E(X).