Cours – Espaces probabilisés finis
Chapitre 09
ECS (1re année) — Chapitre 09. Probabilités conditionnelles, Bayes, indépendance, variables aléatoires finies.
Ce chapitre a été réalisé conformément au programme marocain de mathématiques de la filière ECS.
1 Espaces probabilisés finis
1.1 Définition
Définition 1.1 — (Expérience aléatoire, univers, événement)
Une expérience aléatoire a un ensemble de résultats possibles appelé univers \Omega. Un événement est une partie de \Omega.
Définition 1.2 — (Probabilité sur un univers fini)
Une probabilité sur \Omega fini est une application P : \mathcal{P}(\Omega) \to [0,1] vérifiant :
- P(\Omega) = 1.
- Si A \cap B = \varnothing, alors P(A \cup B) = P(A) + P(B).
Proposition 1.1 — (Propriétés)
- P(\varnothing) = 0.
- P(\overline{A}) = 1 - P(A).
- P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B).
Définition 1.3 — (Équiprobabilité)
Si tous les éléments de \Omega ont la même probabilité, alors P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|}.
2 Probabilités conditionnelles
Définition 2.1 — (Probabilité conditionnelle)
Si P(B) > 0 : P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}
Proposition 2.1 — (Formule des probabilités composées)
P(A \cap B) = P(A) \cdot P(A \mid B) = P(B) \cdot P(B \mid A).
Théorème 2.1 — (Formule des probabilités totales)
Soient B_1, \ldots, B_n un système complet d’événements (deux à deux incompatibles, de réunion \Omega) avec P(B_i) > 0. Alors : P(A) = \sum_{i=1}^n P(B_i) \cdot P(A \mid B_i)
Théorème 2.2 — (Formule de Bayes)
P(B_i \mid A) = \frac{P(B_i) \cdot P(A \mid B_i)}{\sum_{j=1}^n P(B_j) \cdot P(A \mid B_j)}
3 Indépendance
Définition 3.1 — (Indépendance)
A et B sont indépendants si P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B).
Proposition 3.1
Si A et B sont indépendants et P(B) > 0, alors P(A \mid B) = P(A).
Proposition 3.2
Si A et B sont indépendants, alors A et \overline{B} sont indépendants.
4 Variables aléatoires finies
Définition 4.1 — (Variable aléatoire)
Une variable aléatoire réelle sur \Omega fini est une application X : \Omega \to \mathbb{R}.
Définition 4.2 — (Loi d’une variable aléatoire)
La loi de X est la donnée des P(X = x_i) pour x_i \in X(\Omega). On a \sum_i P(X = x_i) = 1.
Définition 4.3 — (Espérance)
E(X) = \sum_i x_i \cdot P(X = x_i)
Définition 4.4 — (Variance)
V(X) = E((X - E(X))^2) = E(X^2) - (E(X))^2
Proposition 4.1 — (Linéarité)
E(\lambda X + \mu Y) = \lambda E(X) + \mu E(Y).
Proposition 4.2
V(\lambda X + \mu) = \lambda^2 V(X).
5 Exercices
Exercice 5.1
On lance deux dés équilibrés. Calculer P(\text{somme} = 7), P(\text{au moins un } 6).
Exercice 5.2
Une urne contient 5 boules rouges et 3 noires. On tire 2 boules sans remise. Calculer P(\text{2 rouges}).
Exercice 5.3
Une maladie touche 2\% de la population. Un test a une sensibilité de 0{,}95 et une spécificité de 0{,}95. Calculer P(\text{malade} \mid \text{test positif}).
Exercice 5.4
Soit X le résultat du lancer d’un dé équilibré. Déterminer E(X) et V(X).
Exercice 5.5
On lance 3 fois une pièce équilibrée. Soit X le nombre de piles. Déterminer la loi de X, E(X), V(X).
Exercice 5.6
Soient X et Y indépendantes. Montrer que E(XY) = E(X)E(Y).
Exercice 5.7
Soient A et B avec P(A) = 0{,}4, P(B) = 0{,}5, P(A \cap B) = 0{,}2. Calculer P(A \mid B). A et B sont-ils indépendants ?
Exercice 5.8
Une urne contient 4 boules blanches et 6 noires. On tire 3 boules sans remise. Soit X le nombre de blanches. Déterminer la loi de X.