TD — Espaces vectoriels
Chapitre 13
TSI (1re année) — TD du Chapitre 13. EV, sous-espaces vectoriels, familles libres et génératrices, bases, dimension finie, théorème de la base incomplète, dimension d’un sous-espace.
Exercice 1
Montrer que les ensembles suivants sont des sous-espaces vectoriels :
- F = \{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3 \mid x + 2y - z = 0\}
- G = \{P \in \mathbb{R}[X] \mid P(0) = P(1)\}
- H = \{f \in \mathcal{F}(\mathbb{R}, \mathbb{R}) \mid f(0) = f(1)\}
Exercice 2
Soient F = \mathrm{Vect}(e_1, e_2) et G = \mathrm{Vect}(e_2, e_3) dans \mathbb{R}^3.
- Déterminer F \cap G et F + G.
- La somme est-elle directe ?
Exercice 3
Montrer que (e_1, e_2, e_3) avec e_1 = (1,1,0), e_2 = (0,1,1), e_3 = (1,0,1) est une base de \mathbb{R}^3.
Exercice 4
Énoncer et démontrer le théorème de la base incomplète : toute famille libre peut être complétée en une base.
Exercice 5
Déterminer une base et la dimension des sous-espaces suivants :
- \{P \in \mathbb{R}_3[X] \mid P(1) = 0\}
- \{(x,y,z,t) \in \mathbb{R}^4 \mid x + y = z + t = 0\}
Exercice 6
Soient F_1, F_2, F_3 trois sous-espaces de E tels que E = F_1 \oplus F_2 \oplus F_3. Montrer que : \dim E = \dim F_1 + \dim F_2 + \dim F_3
Exercice 7
Montrer que la famille (1, X, X^2, \ldots, X^n) est une base de \mathbb{R}_n[X].
Exercice 8
Soit E un \mathbb{K}-espace vectoriel de dimension n. Montrer que toute famille libre de E a au plus n éléments.
Exercice 9
Montrer que \mathcal{M}_n(\mathbb{R}) est un espace vectoriel de dimension n^2.
Exercice 10
Soit E un \mathbb{K}-espace vectoriel et F, G deux sous-espaces. Montrer que : \dim(F + G) = \dim F + \dim G - \dim(F \cap G)