TD — Développements limités, calcul asymptotique

Chapitre 12

Auteur·rice

Saîd MAHARI

Date de publication

23 août 2026

TSI (1re année) — TD du Chapitre 12. Relations de comparaison (O, o, équivalence), développements limités, Taylor-Young, opérations, applications à l’étude locale des fonctions et des courbes.

Exercice 1

Donner les DL à l’ordre indiqué en 0 :

  1. e^x à l’ordre 4
  2. \ln(1+x) à l’ordre 3
  3. \sin x à l’ordre 5
  4. \cos x à l’ordre 4
  5. \dfrac{1}{1-x} à l’ordre 3

Exercice 2

Donner les équivalents simples en 0 :

  1. \sin x - x
  2. 1 - \cos x
  3. \ln(1+x) - x
  4. e^x - 1 - x

Exercice 3

Déterminer les limites suivantes :

  1. \lim_{x \to 0} \dfrac{e^x - 1 - x}{x^2}
  2. \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin x - x}{x^3}
  3. \lim_{x \to 0} \dfrac{\tan x - \sin x}{x^3}

Exercice 4

Donner le DL de \sqrt{1+x} à l’ordre 3 en 0. En déduire \sqrt{1{,}01}.

Exercice 5

Soit f(x) = \dfrac{x - \sin x}{x - \tan x}. Déterminer \lim_{x \to 0} f(x).

Exercice 6

Donner le DL de e^x \cos x à l’ordre 3 en 0.

Exercice 7

Soit f(x) = \dfrac{1}{1+x}. Déterminer le DL de f à l’ordre 3 et la position de la courbe par rapport à sa tangente en 0.

Exercice 8

Montrer que si f(x) \sim g(x) en 0 et g(x) \neq 0, alors \dfrac{f(x)}{g(x)} \to 1.

Exercice 9

Donner le DL de \ln(1+x+x^2) à l’ordre 3 en 0.

Exercice 10

Soit f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} de classe \mathcal{C}^2. Montrer par Taylor-Young : f(x) = f(0) + f'(0)x + \dfrac{f''(0)}{2}x^2 + o(x^2)

Cours

Chapitre 12 : Développements limités, calcul asymptotique