TD — Probabilités
Chapitre 10
PSI (2e année) — TD du Chapitre 10. Ensembles dénombrables et familles sommables, espaces probabilisés, variables aléatoires et lois (discrètes et à densité), espérance et moments, fonctions génératrices, inégalités et théorèmes limites.
Exercice 1
Soit (u_i)_{i \in I} une famille de nombres complexes indexée par un ensemble dénombrable. Montrer que la famille est sommable si et seulement si pour toute bijection \varphi : \mathbb{N} \to I, la série \sum u_{\varphi(n)} est absolument convergente.
Exercice 2
Soit X \hookrightarrow \mathcal{B}(n,p). Montrer que E(X) = np et V(X) = np(1-p).
Exercice 3
Soit X \hookrightarrow \mathcal{P}(\lambda).
- Déterminer la fonction génératrice G_X(s).
- En déduire E(X) et V(X).
Exercice 4
Soit X une variable aléatoire positive admettant une espérance. Montrer l’inégalité de Markov : P(X \geq a) \leq \dfrac{E(X)}{a} pour tout a > 0.
Exercice 5
Soit X une variable aléatoire admettant une variance. Montrer l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev : P(|X - E(X)| \geq \varepsilon) \leq \frac{V(X)}{\varepsilon^2}
Exercice 6
Soient X et Y indépendantes avec X \hookrightarrow \mathcal{P}(\lambda_1) et Y \hookrightarrow \mathcal{P}(\lambda_2). Montrer que X+Y \hookrightarrow \mathcal{P}(\lambda_1 + \lambda_2).
Exercice 7
Soit (X_n) une suite de variables aléatoires avec X_n \hookrightarrow \mathcal{B}(n, \lambda/n). Montrer que X_n \xrightarrow{\mathcal{L}} \mathcal{P}(\lambda).
Exercice 8
Soit (X_n) une suite de variables aléatoires mutuellement indépendantes de même loi admettant un moment d’ordre 2. Montrer la loi faible des grands nombres : \frac{1}{n}\sum_{k=1}^n X_k \xrightarrow{P} E(X_1)
Exercice 9
Soit X \hookrightarrow \mathcal{E}(\lambda) (loi exponentielle). Montrer que E(X) = \frac{1}{\lambda} et V(X) = \frac{1}{\lambda^2}.
Exercice 10
On lance n fois un dé équilibré. Soit S_n la somme des résultats. Utiliser le théorème de la limite centrée pour approcher P(S_n \leq 3{,}2n) pour n grand.