TD — Équations différentielles linéaires
Chapitre 11
PSI (2e année) — TD du Chapitre 11. Équations différentielles linéaires scalaires d’ordre 1 ou 2, problème de Cauchy, systèmes différentiels linéaires homogènes à coefficients constants.
Exercice 1
Résoudre le problème de Cauchy : \begin{cases} y' + y = e^x \\ y(0) = 1 \end{cases}
Exercice 2
Résoudre les équations du second ordre à coefficients constants :
- y'' - 3y' + 2y = 0
- y'' + 2y' + y = 0
- y'' + 4y = 0
- y'' - 5y' + 6y = e^x
Exercice 3
Résoudre le problème de Cauchy : \begin{cases} y'' + 4y = \sin(2x) \\ y(0) = 1, \quad y'(0) = 0 \end{cases}
Indication : Le second membre est solution de l’homogène. Chercher y_p = x(A\cos 2x + B\sin 2x).
Exercice 4
Montrer que l’équation y' = f(t, y) avec f continue admet une unique solution locale (théorème de Cauchy-Lipschitz, admis).
Exercice 5
Soit x' = a(t)x + b(t) une équation différentielle linéaire du premier ordre. Montrer que l’ensemble des solutions est un espace affine de dimension 1.
Exercice 6
Résoudre le système : \begin{cases} x' = x + 2y \\ y' = 2x + y \end{cases}
Indication : Poser u = x+y, v = x-y.
Exercice 7
Résoudre le système X' = AX avec A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}.
Indication : A n’est pas diagonalisable. Utiliser e^{tA} = e^t(I_2 + tN) où N = A - I_2.
Exercice 8
Résoudre y' + y = \dfrac{1}{1+e^x} sur \mathbb{R} par variation de la constante.
Exercice 9
Résoudre y'' - 4y' + 4y = e^{2x} sur \mathbb{R}.
Indication : Racine double r=2. Chercher y_p = Ax^2 e^{2x}.
Exercice 10
Soit A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R}) diagonalisable avec A = PDP^{-1}. Résoudre X' = AX en diagonalisant A.