Cours – Calcul algébrique
Chapitre 02
ECS (1re année) — Chapitre 02. Sommes, produits, factorielles, coefficients binomiaux, binôme de Newton.
Ce chapitre a été réalisé conformément au programme marocain de mathématiques de la filière ECS.
1 Sommes et produits finis
1.1 Notation sigma
Définition 1.1 — (Somme finie)
Soient a_p, a_{p+1}, \ldots, a_n des nombres réels. On note : \sum_{k=p}^n a_k = a_p + a_{p+1} + \cdots + a_n
Proposition 1.1 — (Propriétés)
- Linéarité : \sum_{k=1}^n (\lambda a_k + \mu b_k) = \lambda \sum_{k=1}^n a_k + \mu \sum_{k=1}^n b_k.
- Relation de Chasles : \sum_{k=p}^n a_k = \sum_{k=p}^m a_k + \sum_{k=m+1}^n a_k.
- Somme d’une constante : \sum_{k=1}^n c = nc.
1.2 Sommes de référence
Proposition 1.2 — (Sommes usuelles)
Pour tout n \in \mathbb{N}^* :
- \displaystyle\sum_{k=1}^n k = \frac{n(n+1)}{2}
- \displaystyle\sum_{k=1}^n k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}
- \displaystyle\sum_{k=1}^n k^3 = \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2
- \displaystyle\sum_{k=0}^n q^k = \frac{1 - q^{n+1}}{1 - q} si q \neq 1
Exemple 1.1 — (Somme télescopique)
Pour tout n \in \mathbb{N}^* : \sum_{k=1}^n \frac{1}{k(k+1)} = \sum_{k=1}^n \left(\frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}\right) = 1 - \frac{1}{n+1}
1.3 Notation produit
Définition 1.2 — (Produit fini)
\prod_{k=p}^n a_k = a_p \times a_{p+1} \times \cdots \times a_n
1.4 Factorielles
Définition 1.3 — (Factorielle)
Pour n \in \mathbb{N} : n! = 1 \times 2 \times \cdots \times n, \qquad 0! = 1
Proposition 1.3
n! = n \times (n-1)! pour tout n \geq 1.
2 Coefficients binomiaux
2.1 Définition
Définition 2.1 — (Coefficient binomial)
Pour n, k \in \mathbb{N} avec 0 \leq k \leq n : \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}
Proposition 2.1 — (Propriétés fondamentales)
- \binom{n}{0} = \binom{n}{n} = 1.
- \binom{n}{1} = \binom{n}{n-1} = n.
- Symétrie : \binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}.
- Formule de Pascal : \binom{n+1}{k} = \binom{n}{k} + \binom{n}{k-1}.
Proposition 2.2 — (Somme des coefficients binomiaux)
\sum_{k=0}^n \binom{n}{k} = 2^n
Exemple 2.1 — (Triangle de Pascal)
Le triangle de Pascal permet de calculer les coefficients binomiaux :
| n \setminus k | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 1 | ||||
| 1 | 1 | 1 | |||
| 2 | 1 | 2 | 1 | ||
| 3 | 1 | 3 | 3 | 1 | |
| 4 | 1 | 4 | 6 | 4 | 1 |
3 Binôme de Newton
Théorème 3.1 — (Binôme de Newton)
Pour tout n \in \mathbb{N} et tous a, b \in \mathbb{R} : (a + b)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} a^k b^{n-k}
Preuve. Par récurrence sur n.
Initialisation : pour n = 0 : (a+b)^0 = 1 = \binom{0}{0} a^0 b^0. ✓
Hérédité : supposons (a+b)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} a^k b^{n-k}. Alors : (a+b)^{n+1} = (a+b)(a+b)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} a^{k+1} b^{n-k} + \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} a^k b^{n-k+1}
En regroupant les termes de même degré et en utilisant la formule de Pascal : (a+b)^{n+1} = \sum_{k=0}^{n+1} \binom{n+1}{k} a^k b^{n+1-k}
Exemple 3.1
(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 (a+b)^4 = a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4
Exemple 3.2 — (Conséquences)
- Avec a = b = 1 : 2^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k}.
- Avec a = 1, b = -1 : 0 = \sum_{k=0}^n (-1)^k \binom{n}{k} pour n \geq 1.
4 Exercices
Exercice 4.1
Calculer :
- \displaystyle\sum_{k=1}^{100} k
- \displaystyle\sum_{k=1}^{50} (2k-1)
- \displaystyle\sum_{k=0}^{10} 3^k
Exercice 4.2
Calculer \displaystyle\sum_{k=1}^n \frac{1}{k(k+1)} et \displaystyle\sum_{k=1}^n \frac{1}{k(k+2)}.
Exercice 4.3
Calculer :
- \binom{10}{3}
- \displaystyle\sum_{k=0}^{10} \binom{10}{k}
- \displaystyle\sum_{k=0}^{10} (-1)^k \binom{10}{k}
Exercice 4.4
Développer (2x+1)^5 et (x-1)^4.
Exercice 4.5
Montrer par récurrence que \displaystyle\sum_{k=1}^n k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}.
Exercice 4.6
Montrer la formule de Pascal par un argument combinatoire.
Exercice 4.7
Calculer \displaystyle\prod_{k=2}^n \left(1 - \frac{1}{k^2}\right) pour n \geq 2.
Exercice 4.8
Montrer que \displaystyle\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}^2 = \binom{2n}{n}.