TD — Probabilité sur un univers fini
Chapitre 18
TSI (1re année) — TD du Chapitre 18. Espace probabilisable, probabilités, probabilités conditionnelles, Bayes, indépendance, variables aléatoires réelles finies, espérance, variance, lois usuelles (Bernoulli, binomiale, uniforme).
Exercice 1
On lance deux dés équilibrés. Calculer :
- P(\text{somme} = 7)
- P(\text{deux } 6)
- P(\text{au moins un } 6)
Exercice 2
Une urne contient 5 boules rouges et 3 noires. On tire 2 boules sans remise.
- P(\text{2 rouges})
- P(\text{rouge puis noire})
- P(\text{au moins une rouge})
Exercice 3
Une maladie touche 1% de la population. Un test a une sensibilité de 0,95 et une spécificité de 0,95. Calculer P(\text{malade} \mid \text{test positif}).
Indication : Bayes.
Exercice 4
Soient A, B avec P(A) = 1/3, P(B) = 1/4, P(A \cup B) = 1/2.
- Calculer P(A \cap B).
- Calculer P_A(B).
- A et B sont-ils indépendants ?
Exercice 5
Soit X \hookrightarrow \mathcal{B}(n,p). Montrer que E(X) = np et V(X) = np(1-p).
Exercice 6
On lance 3 fois une pièce équilibrée. Soit X le nombre de piles.
- Déterminer la loi de X.
- Calculer E(X) et V(X).
Exercice 7
Une urne contient 4 boules rouges et 6 noires. On tire avec remise 5 boules. Soit X le nombre de rouges. Déterminer la loi de X, E(X) et V(X).
Exercice 8
Soit X uniforme sur \{1, \ldots, n\}. Calculer E(X) et V(X).
Exercice 9
Soient X \hookrightarrow \mathcal{B}(n,p) et Y \hookrightarrow \mathcal{B}(m,p) indépendantes. Montrer que X+Y \hookrightarrow \mathcal{B}(n+m,p).
Exercice 10
Deux joueurs lancent chacun un dé. Quelle est la probabilité que le premier obtienne un résultat strictement supérieur au second ?
Indication : Par symétrie P(A>B) = P(B>A) et P(A=B) = 1/6.