Probabilité sur un univers fini

Chapitre 18

Auteur·rice

Saîd MAHARI

Date de publication

22 août 2026

TSI 1re année — Chapitre 18. Espace probabilisable, probabilités, probabilités conditionnelles, Bayes, indépendance, variables aléatoires réelles finies, espérance, variance, lois usuelles (Bernoulli, binomiale, uniforme).

Ce chapitre a été réalisé conformément au programme marocain de mathématiques de la filière TSI1.

Dans ce chapitre, \Omega désigne un ensemble fini non vide appelé univers.

1 Espace probabilisable fini

1.1 Expérience aléatoire, univers, événements

Définition 1.1 — (Expérience aléatoire)

La théorie des probabilités permet l’étude de phénomènes ayant un aspect hasardeux, ou aléatoire. On appelle expérience aléatoire une expérience dont le résultat dépend du hasard.

L’ensemble des issues (ou résultats observables) d’une expérience aléatoire est appelé univers et noté \Omega.

Exemple 1.1

Voici quelques exemples d’expériences aléatoires :

  1. Lancer une pièce de monnaie : \Omega = \{\text{pile}, \text{face}\}.
  2. Lancer un dé à 6 faces : \Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}.
  3. Tirer une boule d’une urne contenant r boules rouges et v boules vertes : \Omega = \{\text{rouge}, \text{vert}\}.

Définition 1.2 — (Événement)

Un événement est une partie de \Omega, c’est-à-dire un élément de \mathcal{P}(\Omega).

  • L’événement \Omega est l’événement certain.
  • L’événement \varnothing est l’événement impossible.
  • Si A est un événement, \overline{A} = \Omega \setminus A est l’événement contraire.
  • A \cap B est l’événement « A et B ».
  • A \cup B est l’événement « A ou B ».
  • Deux événements A et B sont incompatibles si A \cap B = \varnothing.

Définition 1.3 — (Système complet d’événements)

Une famille (A_i)_{i \in I} d’événements est un système complet d’événements si :

  1. Les événements sont deux à deux incompatibles : \forall (i,j) \in I^2,\ i \neq j \implies A_i \cap A_j = \varnothing
  2. Leur réunion est \Omega : \bigcup_{i \in I} A_i = \Omega

Autrement dit, les A_i forment une partition de \Omega.

Exemple 1.2

Si on lance un dé à 6 faces, la famille (\{1\}, \{2\}, \{3\}, \{4\}, \{5\}, \{6\}) est un système complet d’événements.

La famille (\{1,3,5\}, \{2,4,6\}) (pair/impaire) est aussi un système complet d’événements.

1.2 Tribu

Définition 1.4 — (Tribu)

Soit T une partie de \mathcal{P}(\Omega). On dit que T est une tribu sur \Omega si elle vérifie :

  1. \Omega \in T
  2. Si A \in T, alors \overline{A} = \Omega \setminus A \in T
  3. Si (A_n)_{n \in \mathbb{N}} est une suite d’éléments de T, alors \bigcup_{n \in \mathbb{N}} A_n \in T

Proposition 1.1 — (Propriétés d’une tribu)

Soit T une tribu sur \Omega. Alors :

  1. \varnothing \in T
  2. Pour toute suite finie (A_i)_{1 \leq i \leq n} d’éléments de T, on a \bigcup_{i=1}^n A_i \in T
  3. Pour toute suite finie (A_i)_{1 \leq i \leq n} d’éléments de T, on a \bigcap_{i=1}^n A_i \in T
  4. Pour tout couple (A,B) d’éléments de T, on a A \setminus B \in T

Remarque. Dans le cadre de ce chapitre, \Omega est fini. On prendra toujours T = \mathcal{P}(\Omega), qui est la tribu la plus grande possible. La notion de tribu n’appelle aucun développement théorique dans ce cadre.

2 Espace probabilisé fini

2.1 Définition

Définition 2.1 — (Probabilité)

Une probabilité sur l’espace probabilisable (\Omega, \mathcal{P}(\Omega)) est une application P : \mathcal{P}(\Omega) \to [0,1] qui vérifie :

  1. P(\Omega) = 1
  2. Pour tous événements incompatibles A et B : P(A \cup B) = P(A) + P(B)
  3. Pour toute suite (A_n)_{n \in \mathbb{N}} croissante au sens de l’inclusion : \lim_{n \to +\infty} P(A_n) = P\left(\bigcup_{n \in \mathbb{N}} A_n\right)

Le triplet (\Omega, \mathcal{P}(\Omega), P) est appelé espace probabilisé.

Exemple 2.1 — (Probabilité uniforme)

Soit \Omega = \llbracket 1, n \rrbracket et T = \mathcal{P}(\Omega). On définit la probabilité uniforme (ou équiprobabilité) par : \forall k \in \Omega, \quad P(\{k\}) = \frac{1}{n}

Alors pour toute partie A de \Omega : P(A) = \frac{\mathrm{Card}(A)}{n}

2.2 Propriétés des probabilités

Proposition 2.1

Soit (\Omega, \mathcal{P}(\Omega), P) un espace probabilisé. Alors :

  1. P(\varnothing) = 0
  2. P(\overline{A}) = 1 - P(A)
  3. Si A \subset B, alors P(A) \leq P(B) (croissance)
  4. P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)

Proposition 2.2 — (Union finie)

Pour toute suite finie (A_k)_{1 \leq k \leq n} d’événements : P\left(\bigcup_{k=1}^n A_k\right) \leq \sum_{k=1}^n P(A_k) avec égalité si et seulement si les événements A_k sont incompatibles deux à deux.

3 Probabilités conditionnelles

3.1 Définition

Définition 3.1 — (Probabilité conditionnelle)

Soit B un événement de probabilité P(B) > 0. La probabilité conditionnelle de A sachant B est définie par : P_B(A) = P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}

Proposition 3.1

L’application P_B : A \mapsto P_B(A) est une probabilité sur \mathcal{P}(\Omega).

Exemple 3.1 — (Exemple de l’urne)

Une urne contient r boules rouges et v boules vertes. On tire successivement et sans remise deux boules.

Notons A = « la première boule tirée est rouge » et B = « la deuxième boule tirée est rouge ».

On a : P(A) = \frac{r}{r+v}, \quad P(B|A) = \frac{r-1}{r+v-1}

Donc : P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B|A) = \frac{r}{r+v} \cdot \frac{r-1}{r+v-1}

3.2 Formule des probabilités composées

Théorème 3.1 — (Formule des probabilités composées)

Soit (A_k)_{1 \leq k \leq n} une famille d’événements telle que P\left(\bigcap_{k=1}^{n-1} A_k\right) \neq 0. Alors : P\left(\bigcap_{k=1}^n A_k\right) = P(A_1) \cdot P_{A_1}(A_2) \cdot P_{A_1 \cap A_2}(A_3) \cdots P_{A_1 \cap \cdots \cap A_{n-1}}(A_n)

3.3 Formule des probabilités totales

Théorème 3.2 — (Formule des probabilités totales)

Soit (A_k)_{1 \leq k \leq n} un système complet d’événements tel que P(A_k) > 0 pour tout k, et soit B un événement. Alors : \boxed{P(B) = \sum_{k=1}^n P(B|A_k) \cdot P(A_k)}

Preuve. Les événements B \cap A_k forment une partition de B : B = \bigcup_{k=1}^n (B \cap A_k) Les B \cap A_k étant deux à deux incompatibles : P(B) = \sum_{k=1}^n P(B \cap A_k) = \sum_{k=1}^n P(B|A_k) \cdot P(A_k)

Exemple 3.2 — (Exemple de l’urne)

On reprend l’exemple de l’urne. La famille (A, \overline{A}) forme un système complet d’événements. La probabilité que la deuxième boule tirée soit rouge est : P(B) = P(B|A)P(A) + P(B|\overline{A})P(\overline{A}) = \frac{r-1}{r+v-1} \cdot \frac{r}{r+v} + \frac{r}{r+v-1} \cdot \frac{v}{r+v} = \frac{r}{r+v}

3.4 Formule de Bayes

Théorème 3.3 — (Formule de Bayes)

Soit (A_k)_{1 \leq k \leq n} un système complet d’événements de probabilités non nulles et B un événement avec P(B) > 0. Alors pour tout j \in \{1, \ldots, n\} : \boxed{P(A_j|B) = \frac{P(B|A_j) \cdot P(A_j)}{\sum_{i=1}^n P(B|A_i) \cdot P(A_i)}}

Preuve. Par définition de la probabilité conditionnelle : P(A_j|B) = \frac{P(A_j \cap B)}{P(B)} = \frac{P(B|A_j) \cdot P(A_j)}{P(B)} En appliquant la formule des probabilités totales au dénominateur, on obtient le résultat.

Exemple 3.3 — (Exemple de l’urne)

On reprend l’exemple de l’urne. La probabilité que la première boule tirée soit rouge sachant que la deuxième est rouge est : P(A|B) = \frac{P(B|A) \cdot P(A)}{P(B|A) \cdot P(A) + P(B|\overline{A}) \cdot P(\overline{A})} = \frac{\frac{r-1}{r+v-1} \cdot \frac{r}{r+v}}{\frac{r}{r+v}} = \frac{r-1}{r+v-1}

4 Indépendance d’événements

4.1 Indépendance de deux événements

Définition 4.1 — (Indépendance de deux événements)

Deux événements A et B sont indépendants si : P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)

Si P(B) > 0, l’indépendance s’écrit aussi : P_B(A) = P(A).

Proposition 4.1

Si A et B sont indépendants, alors A et \overline{B} sont indépendants, \overline{A} et B sont indépendants, \overline{A} et \overline{B} sont indépendants.

4.2 Indépendance mutuelle

Définition 4.2 — (Indépendance mutuelle)

Les événements A_1, \ldots, A_n sont mutuellement indépendants si pour toute partie J de \{1, \ldots, n\} : P\left(\bigcap_{i \in J} A_i\right) = \prod_{i \in J} P(A_i)

L’indépendance mutuelle implique l’indépendance deux à deux, mais la réciproque est fausse.

Exemple 4.1 — (Exemple classique)

On lance deux dés. Notons : - A = « le premier dé donne un résultat pair » - B = « le deuxième dé donne un résultat pair » - C = « la somme des deux dés est paire »

On vérifie que A, B et C sont indépendants deux à deux, mais ne sont pas mutuellement indépendants car : P(A \cap B \cap C) = P(A \cap B) = \frac{1}{4} \neq P(A) \cdot P(B) \cdot P(C) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{8}

5 Variables aléatoires réelles finies

5.1 Définition

Définition 5.1 — (Variable aléatoire)

Une variable aléatoire réelle est une application X : \Omega \to \mathbb{R} telle que pour tout intervalle I de \mathbb{R} : X^{-1}(I) \in \mathcal{P}(\Omega)

Dans le cas fini, cette condition est automatiquement vérifiée. On dit que X est une variable aléatoire discrète finie si X(\Omega) est fini.

On utilise les notations suivantes : - \{X \in A\} ou (X \in A) à la place de X^{-1}(A) - P(X \in A), P(X = x), P(X \leq x)

5.2 Loi de probabilité

Définition 5.2 — (Loi d’une variable aléatoire)

Soit X : \Omega \to \mathbb{R} une variable aléatoire discrète finie. La loi de probabilité de X est la probabilité P_X sur (X(\Omega), \mathcal{P}(X(\Omega))) définie par : P_X(A) = P(X \in A) = P(X^{-1}(A))

La loi de X est entièrement déterminée par la liste des P(X = x) pour x \in X(\Omega).

Proposition 5.1

Soit X une variable aléatoire discrète finie et D = X(\Omega). Alors : \sum_{x \in D} P(X = x) = 1

Exemple 5.1

On lance un dé à 6 faces. Notons X la variable aléatoire qui donne le résultat du lancer. Alors : P_X = \text{loi uniforme sur } \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} \forall k \in \{1, \ldots, 6\}, \quad P(X = k) = \frac{1}{6}

5.3 Espérance

Définition 5.3 — (Espérance)

Soit X une variable aléatoire discrète finie. L’espérance de X est : E(X) = \sum_{x \in X(\Omega)} x \cdot P(X = x)

Proposition 5.2 — (Relation avec \boldsymbol{\Omega} fini)

Si \Omega est fini : E(X) = \sum_{\omega \in \Omega} P(\{\omega\}) \cdot X(\omega)

Proposition 5.3 — (Propriétés de l’espérance)

Soient X, Y des variables aléatoires discrètes finies et a, b \in \mathbb{R}.

  1. Linéarité : E(aX + bY) = aE(X) + bE(Y)
  2. Positivité : Si X \geq 0, alors E(X) \geq 0
  3. Croissance : Si X \leq Y, alors E(X) \leq E(Y)

Proposition 5.4 — (Formule de transfert)

Soit X une variable aléatoire discrète finie et f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} une fonction. Alors : E(f(X)) = \sum_{x \in X(\Omega)} P(X = x) \cdot f(x)

5.4 Variance et écart-type

Définition 5.4 — (Variance et écart-type)

Soit X une variable aléatoire discrète finie. La variance de X est : V(X) = E\left((X - E(X))^2\right) = E(X^2) - (E(X))^2 L’écart-type de X est \sigma(X) = \sqrt{V(X)}.

Proposition 5.5 — (Propriétés de la variance)

Soit X une variable aléatoire discrète finie et a, b \in \mathbb{R}.

  1. V(aX + b) = a^2 V(X)
  2. V(X) \geq 0
  3. V(X) = 0 si et seulement si X est constante (presque sûrement)

Définition 5.5 — (Variable aléatoire centrée réduite)

Si \sigma(X) > 0, la variable aléatoire \frac{X - E(X)}{\sigma(X)} est centrée réduite.

Théorème 5.1 — (Inégalité de Bienaymé-Tchebychev)

Soit X une variable aléatoire discrète finie admettant un moment d’ordre 2. Alors pour tout \varepsilon > 0 : P(|X - E(X)| \geq \varepsilon) \leq \frac{V(X)}{\varepsilon^2}

6 Lois usuelles

6.1 Loi uniforme sur un segment d’entiers

Définition 6.1 — (Loi uniforme)

Soit n \in \mathbb{N}^*. On dit que X suit la loi uniforme sur \llbracket 1, n \rrbracket, notée X \hookrightarrow \mathcal{U}(\llbracket 1, n \rrbracket), si : \forall k \in \llbracket 1, n \rrbracket, \quad P(X = k) = \frac{1}{n}

Proposition 6.1 — (Espérance et variance de la loi uniforme)

Si X \hookrightarrow \mathcal{U}(\llbracket 1, n \rrbracket) : E(X) = \frac{n+1}{2}, \quad V(X) = \frac{n^2 - 1}{12}

Exemple 6.1

Si on lance un dé à 6 faces, la variable aléatoire X donnant le résultat suit \mathcal{U}(\llbracket 1, 6 \rrbracket) : E(X) = \frac{7}{2}, \quad V(X) = \frac{35}{12}

6.2 Loi de Bernoulli

Définition 6.2 — (Loi de Bernoulli)

Soit p \in [0, 1]. On dit que X suit la loi de Bernoulli de paramètre p, notée X \hookrightarrow \mathcal{B}(p), si : P(X = 1) = p, \quad P(X = 0) = 1 - p = q

Proposition 6.2 — (Espérance et variance de la loi de Bernoulli)

Si X \hookrightarrow \mathcal{B}(p) : E(X) = p, \quad V(X) = p(1-p) = pq

Remarque. Une variable aléatoire de Bernoulli est l’indicatrice d’un événement : si A est un événement de probabilité p, alors X = \mathbb{1}_A suit \mathcal{B}(p).

6.3 Loi binomiale

Définition 6.3 — (Loi binomiale)

Soient n \in \mathbb{N}^* et p \in [0, 1]. On dit que X suit la loi binomiale de paramètres n et p, notée X \hookrightarrow \mathcal{B}(n, p), si : \forall k \in \{0, 1, \ldots, n\}, \quad P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}

Proposition 6.3 — (Espérance et variance de la loi binomiale)

Si X \hookrightarrow \mathcal{B}(n, p) : E(X) = np, \quad V(X) = np(1-p) = npq

Remarque. La loi binomiale modélise le nombre de succès lors de n répétitions indépendantes d’une épreuve de Bernoulli de probabilité de succès p.

Théorème 6.1 — (Somme de variables de Bernoulli indépendantes)

Soient X_1, \ldots, X_n des variables aléatoires mutuellement indépendantes qui suivent toutes la même loi de Bernoulli \mathcal{B}(p). Alors : Z = X_1 + X_2 + \cdots + X_n \hookrightarrow \mathcal{B}(n, p)

Preuve. On montre que Z est une variable aléatoire discrète et on calcule sa loi. Pour k \in \{0, \ldots, n\} : P(Z = k) = \sum_{1 \leq i_1 < \cdots < i_k \leq n} P\left(X_{i_1} = \cdots = X_{i_k} = 1, X_{i_{k+1}} = \cdots = X_{i_n} = 0\right) Par indépendance : = \sum_{1 \leq i_1 < \cdots < i_k \leq n} p^k(1-p)^{n-k} = \binom{n}{k} p^k(1-p)^{n-k} Donc Z \hookrightarrow \mathcal{B}(n, p).

Exemple 6.2 — (Lancer de pièces)

On lance 10 fois une pièce équilibrée. Notons X le nombre de faces obtenues. Alors : X \hookrightarrow \mathcal{B}(10, 1/2) E(X) = 10 \times \frac{1}{2} = 5, \quad V(X) = 10 \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = 2{,}5

La probabilité d’obtenir exactement 5 faces est : P(X = 5) = \binom{10}{5} \left(\frac{1}{2}\right)^{10} = \frac{252}{1024} \approx 0{,}246

7 Couples de variables aléatoires

7.1 Définition et loi conjointe

Définition 7.1 — (Couple de variables aléatoires)

Soient X et Y deux variables aléatoires discrètes finies définies sur le même espace probabilisé (\Omega, \mathcal{P}(\Omega), P). Le couple (X, Y) est une variable aléatoire à valeurs dans \mathbb{R}^2.

La loi conjointe de (X, Y) est déterminée par : P(X = x, Y = y) = P(\{X = x\} \cap \{Y = y\}) \quad \text{pour tout } (x, y) \in X(\Omega) \times Y(\Omega)

7.2 Lois marginales et conditionnelles

Définition 7.2 — (Loi marginale)

La loi marginale de X est la loi de X considérée seule : P(X = x) = \sum_{y \in Y(\Omega)} P(X = x, Y = y)

De même pour la loi marginale de Y.

Définition 7.3 — (Loi conditionnelle)

Si P(Y = y) > 0, la loi conditionnelle de X sachant Y = y est : P(X = x | Y = y) = \frac{P(X = x, Y = y)}{P(Y = y)}

7.3 Indépendance de deux variables aléatoires

Définition 7.4 — (Indépendance de deux variables aléatoires)

X et Y sont indépendantes si pour tous x \in X(\Omega) et y \in Y(\Omega) : P(X = x, Y = y) = P(X = x) \cdot P(Y = y)

Proposition 7.1 — (Espérance d’un produit)

Si X et Y sont indépendantes : E(XY) = E(X) \cdot E(Y)

Proposition 7.2 — (Variance d’une somme)

Si X et Y sont indépendantes : V(X + Y) = V(X) + V(Y)

8 Exercices

Exercice 8.1

On lance deux dés. Calculer :

  1. La probabilité d’obtenir un total de 7.
  2. La probabilité d’obtenir au moins un 6.
  3. La probabilité d’obtenir deux résultats pairs.

Exercice 8.2

Une urne contient 3 boules rouges et 2 boules vertes. On tire successivement et sans remise deux boules.

  1. Calculer la probabilité que les deux boules soient rouges.
  2. Calculer la probabilité que la deuxième boule soit rouge.
  3. Calculer la probabilité que la première boule soit rouge sachant que la deuxième est rouge.

Exercice 8.3

Soient A et B deux événements tels que : P(A \cup B) = \frac{7}{8}, \quad P(A \cap B) = \frac{1}{4}, \quad P(\overline{A}) = \frac{5}{8} Calculer P(A), P(B) et P(A \cap \overline{B}).

Exercice 8.4

On lance 5 fois une pièce équilibrée. Notons X le nombre de faces obtenues.

  1. Quelle loi suit X ?
  2. Calculer E(X) et V(X).
  3. Calculer P(X = 3).
  4. Calculer P(X \geq 4).

Exercice 8.5

Soit X \hookrightarrow \mathcal{B}(n, p). Montrer que :

  1. \sum_{k=0}^n P(X = k) = 1
  2. E(X) = np
  3. V(X) = np(1-p)

Exercice 8.6

Soient X et Y deux variables aléatoires indépendantes avec X \hookrightarrow \mathcal{B}(p) et Y \hookrightarrow \mathcal{B}(q). Calculer E(XY) et V(X+Y).

Exercice 8.7

Dans une usine, trois machines M_1, M_2, M_3 produisent respectivement 40%, 35% et 25% des pièces. Les taux de défaut sont respectivement 2%, 3% et 4%.

  1. Une pièce est choisie au hasard. Quelle est la probabilité qu’elle soit défectueuse ?
  2. Une pièce défectueuse est choisie. Quelle est la probabilité qu’elle ait été produite par M_1 ?

Exercice 8.8

On lance un dé à 6 faces. Notons X la variable aléatoire qui donne le résultat.

  1. Quelle loi suit X ?
  2. Calculer E(X) et V(X).
  3. On pose Y = X^2. Calculer E(Y).

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Chapitre 18 : Probabilité sur un univers fini