TD — Primitives et équations différentielles linéaires

Chapitre 09

Auteur·rice

Saîd MAHARI

Date de publication

23 août 2026

TSI (1re année) — TD du Chapitre 09. Primitives, IPP, changement de variable, équations différentielles linéaires d’ordre 1 et d’ordre 2 à coefficients constants, problème de Cauchy.

Exercice 1

Calculer les primitives suivantes :

  1. \int t^2 e^{-t}\, dt
  2. \int t \ln t\, dt
  3. \int \dfrac{dt}{1+t^2}
  4. \int \dfrac{dt}{\sqrt{1-t^2}}

Exercice 2

Calculer par changement de variable :

  1. \int_0^1 \dfrac{dt}{\sqrt{1-t^2}} (poser t = \sin\theta)
  2. \int_0^1 t\sqrt{1-t^2}\, dt (poser u = 1-t^2)

Exercice 3

Résoudre les équations différentielles du premier ordre :

  1. y' + y = e^x
  2. y' - 2y = 3x + 1
  3. y' + \dfrac{1}{x}y = x^2 sur ]0,+\infty[

Exercice 4

Résoudre les équations du second ordre à coefficients constants :

  1. y'' - 3y' + 2y = 0
  2. y'' + 2y' + y = 0
  3. y'' + 4y = 0
  4. y'' - 5y' + 6y = e^x

Exercice 5

Résoudre le problème de Cauchy : \begin{cases} y'' + 4y = \sin(2x) \\ y(0) = 1, \quad y'(0) = 0 \end{cases}

Indication : Le second membre est solution de l’homogène. Chercher y_p = x(A\cos 2x + B\sin 2x).

Exercice 6

Résoudre y' + y = \dfrac{1}{1+e^x} sur \mathbb{R} par variation de la constante.

Exercice 7

Résoudre y'' - 4y' + 4y = e^{2x} sur \mathbb{R}.

Indication : Racine double r=2. Chercher y_p = Ax^2 e^{2x}.

Exercice 8

Soit f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} continue. Montrer que y' + y = f admet une unique solution bornée si f est bornée.

Exercice 9

Calculer \int_0^{\pi/2} t \cos t\, dt par IPP.

Exercice 10

Résoudre le système différentiel : \begin{cases} x' = x + y \\ y' = x - y \end{cases}

Indication : Poser u = x+y, v = x-y. On obtient u' = 2u, v' = 0.

Cours

Chapitre 09 : Primitives et équations différentielles linéaires