TD — Fonctions usuelles, fonctions convexes
Chapitre 08
TSI (1re année) — TD du Chapitre 08. \exp, \ln, puissances, trigonométrie circulaire et hyperbolique, fonctions réciproques, convexité, inégalité de Jensen, applications.
Exercice 1
Montrer que pour tout x \in \mathbb{R} :
- e^x \geq 1 + x
- \ln x \leq x - 1 pour x > 0
- \ln x \leq \sqrt{x} pour x > 0
Exercice 2
Résoudre dans \mathbb{R} :
- e^x = 3
- \ln x + \ln(x-1) = \ln 2
- e^{2x} - 3e^x + 2 = 0
Indication : Pour (3), poser X = e^x et résoudre X^2 - 3X + 2 = 0.
Exercice 3
Montrer que pour tout x \in \mathbb{R} :
- \cosh^2 x - \sinh^2 x = 1
- \cosh(x+y) = \cosh x \cosh y + \sinh x \sinh y
- \tanh x = \dfrac{e^{2x}-1}{e^{2x}+1}
Exercice 4
Montrer que pour tout x \in ]-1,1[ :
- \arcsin x + \arccos x = \dfrac{\pi}{2}
- \dfrac{d}{dx}\arcsin x = \dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}
Indication : Poser g(x) = \arcsin x + \arccos x, montrer g' = 0 puis calculer g(0).
Exercice 5
Montrer que pour tout n \in \mathbb{N}^* : \left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n < e < \left(1+\dfrac{1}{n}\right)^{n+1}
Indication : Prendre le logarithme et utiliser \frac{x}{1+x} < \ln(1+x) < x.
Exercice 6
Soit f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} convexe. Montrer l’inégalité de Jensen : pour tout \lambda \in [0,1] : f(\lambda x + (1-\lambda)y) \leq \lambda f(x) + (1-\lambda)f(y)
Exercice 7
Montrer que \ln est concave sur ]0,+\infty[ et en déduire : \ln\!\left(\dfrac{a+b}{2}\right) \geq \dfrac{\ln a + \ln b}{2}
Exercice 8
Étudier les fonctions suivantes (domaine, dérivée, variations, limites) :
- f(x) = x e^{-x}
- f(x) = \dfrac{\ln x}{x}
- f(x) = x - \ln x sur ]0,+\infty[
Exercice 9
Résoudre : \arctan x + \arctan(2x) = \dfrac{\pi}{4}.
Indication : Prendre la tangente et utiliser \tan(a+b) = \frac{\tan a + \tan b}{1-\tan a \tan b}.
Exercice 10
Montrer que pour tout x > 0 : \arctan x + \arctan\dfrac{1}{x} = \dfrac{\pi}{2}.
Indication : Dériver g(x) = \arctan x + \arctan(1/x) et calculer g(1).