TD — Fonctions de la variable réelle, limites et continuité
Chapitre 06
TSI (1re année) — TD du Chapitre 06. Limites, continuité, théorème des valeurs intermédiaires, théorème des bornes atteintes, continuité et monotonie stricte, fonctions réciproques.
Exercice 1
Déterminer les limites suivantes :
- \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin x}{x}
- \lim_{x \to 0} \dfrac{1-\cos x}{x^2}
- \lim_{x \to +\infty} \dfrac{\ln x}{x}
- \lim_{x \to 0^+} x \ln x
Exercice 2
Soit f : [a,b] \to \mathbb{R} continue. Montrer que f est bornée et atteint ses bornes (théorème des bornes atteintes).
Exercice 3
Soit f : [0,1] \to [0,1] continue. Montrer que f admet un point fixe.
Indication : Appliquer le TVI à g(x) = f(x) - x.
Exercice 4
Montrer que l’équation x^3 + x - 1 = 0 admet une unique solution réelle.
Indications : - Existence : TVI sur [0,1]. - Unicité : x^3 + x est strictement croissante.
Exercice 5
Soit f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} continue et T-périodique. Montrer que f est bornée sur \mathbb{R}.
Exercice 6
Soit f : [0,1] \to \mathbb{R} continue. Montrer que pour tout n \in \mathbb{N}^*, il existe x_n \in [0,1] tel que : f(x_n) = \dfrac{1}{n}\sum_{k=1}^n f\!\left(\dfrac{k}{n}\right)
Indication : La moyenne est comprise entre \min f et \max f. Appliquer le TVI.
Exercice 7
Soit f : I \to \mathbb{R} continue et strictement monotone. Montrer que f réalise une bijection de I sur f(I) et que f^{-1} est continue.
Exercice 8
Soit f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} continue avec f \circ f = \mathrm{Id}. Montrer que f est une bijection.
Indications : - Injectivité : f(x) = f(y) \Rightarrow x = f(f(x)) = f(f(y)) = y. - Surjectivité : pour tout y, f(f(y)) = y donc y = f(f(y)).
Exercice 9
Soit f : [a,b] \to \mathbb{R} continue. Montrer que f([a,b]) est un intervalle.
Indication : TVI : si y_1, y_2 \in f([a,b]) avec y_1 < y_2, tout y \in ]y_1, y_2[ est atteint.
Exercice 10
Soit f : [0,1] \to \mathbb{R} continue avec f(0) = f(1). Montrer qu’il existe c \in [0, 1/2] tel que f(c) = f(c + 1/2).
Indication : Appliquer le TVI à g(x) = f(x) - f(x + 1/2) sur [0, 1/2].
Cours
Chapitre 06 : Fonctions de la variable réelle, limites et continuité