TD — Géométrie élémentaire du plan et de l’espace

Chapitre 04

Auteur·rice

Saîd MAHARI

Date de publication

23 août 2026

TSI (1re année) — TD du Chapitre 04. Repères, coordonnées cartésiennes et polaires, produit scalaire, produit vectoriel, produit mixte, droites, plans, cercles, sphères, transformations affines.

Exercice 1

Dans le plan muni d’un repère orthonormé, on considère les points A(1, 2), B(4, 6) et C(-2, 3).

  1. Calculer \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} (produit scalaire).
  2. Le triangle ABC est-il rectangle ?
  3. Calculer l’aire du triangle ABC.

Exercice 2

Passer des coordonnées cartésiennes aux coordonnées polaires et réciproquement :

  1. M(3, 4) en polaires.
  2. N(r=2, \theta = \pi/3) en cartésiennes.
  3. L’équation x^2 + y^2 = 4 en polaires.
  4. L’équation r = 2\cos\theta en cartésiennes.

Exercice 3

Soient \vec{u} = (1, 2, 3) et \vec{v} = (4, 5, 6) dans \mathbb{R}^3.

  1. Calculer \vec{u} \cdot \vec{v} (produit scalaire).
  2. Calculer \vec{u} \wedge \vec{v} (produit vectoriel).
  3. Vérifier que \vec{u} \wedge \vec{v} est orthogonal à \vec{u} et \vec{v}.

Exercice 4

Soient \vec{u} = (1, 0, 0), \vec{v} = (0, 1, 0), \vec{w} = (1, 1, 1).

  1. Calculer le produit mixte [\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}].
  2. Interpréter géométriquement.

Exercice 5

Déterminer une équation cartésienne :

  1. De la droite passant par A(1, 2) et B(3, 5) dans \mathbb{R}^2.
  2. Du plan passant par A(1, 0, 0), B(0, 1, 0), C(0, 0, 1) dans \mathbb{R}^3.
  3. De la sphère de centre \Omega(1, 2, 3) et de rayon 2.

Exercice 6

Déterminer une représentation paramétrique :

  1. De la droite passant par A(1, 2, 3) et dirigée par \vec{u} = (1, -1, 2).
  2. Du plan passant par A(1, 0, 0) et dirigé par \vec{u} = (1, 1, 0) et \vec{v} = (0, 1, 1).

Exercice 7

Déterminer l’équation du cercle :

  1. De centre \Omega(2, 3) et de rayon 5.
  2. Passant par A(0, 0), B(4, 0), C(0, 3).

Indication : Pour (2), chercher le centre comme intersection des médiatrices.

Exercice 8

Soit la droite D : x + 2y - 3 = 0 et le point A(1, 1).

  1. Déterminer la distance de A à D.
  2. Déterminer le projeté orthogonal de A sur D.

Exercice 9

Soient A(1, 0, 0), B(0, 1, 0), C(0, 0, 1).

  1. Déterminer une équation du plan (ABC).
  2. Calculer la distance de l’origine O au plan (ABC).
  3. Déterminer le projeté orthogonal de O sur (ABC).

Exercice 10

Soit f la transformation affine du plan définie par : f(x, y) = (2x + y - 1, x - y + 2)

  1. Déterminer la partie linéaire de f.
  2. f est-elle une bijection ? Si oui, déterminer f^{-1}.

Cours

Chapitre 04 : Géométrie élémentaire du plan et de l’espace