TD — Vocabulaire ensembliste et méthodes de raisonnement

Chapitre 01

Auteur·rice

Saîd MAHARI

Date de publication

23 août 2026

TSI (1re année) — TD du Chapitre 01. Connecteurs logiques, quantificateurs, raisonnements (récurrence, absurde, contraposition, disjonction des cas, analyse-synthèse), ensembles, applications, injections, surjections, bijections.

Exercice 1

Soient P, Q, R trois propositions. Montrer que :

  1. P \Rightarrow (Q \Rightarrow R) est équivalente à (P \wedge Q) \Rightarrow R.
  2. \neg(P \wedge Q) est équivalente à (\neg P) \vee (\neg Q) (lois de De Morgan).
  3. P \Rightarrow Q est équivalente à (\neg P) \vee Q.
  4. La contraposée de P \Rightarrow Q est \neg Q \Rightarrow \neg P.

Exercice 2

Soient P(x) et Q(x) deux propositions dépendant de x \in E. Montrer que :

  1. \forall x \in E,\; P(x) \wedge Q(x) équivaut à (\forall x,\; P(x)) \wedge (\forall x,\; Q(x)).
  2. \exists x \in E,\; P(x) \vee Q(x) équivaut à (\exists x,\; P(x)) \vee (\exists x,\; Q(x)).
  3. \neg(\forall x,\; P(x)) équivaut à \exists x,\; \neg P(x).
  4. \forall x\, \forall y,\; R(x,y) équivaut à \forall y\, \forall x,\; R(x,y), mais \forall x\, \exists y,\; R(x,y) n’équivaut pas en général à \exists y\, \forall x,\; R(x,y). Donner un contre-exemple.

Exercice 3

Montrer par récurrence que pour tout n \in \mathbb{N}^* :

  1. \sum_{k=1}^n k = \dfrac{n(n+1)}{2}
  2. \sum_{k=1}^n k^2 = \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}
  3. \sum_{k=1}^n k^3 = \left(\dfrac{n(n+1)}{2}\right)^2
  4. 2^n > n

Exercice 4

Montrer par l’absurde que :

  1. \sqrt{2} \notin \mathbb{Q}.
  2. \sqrt{3} \notin \mathbb{Q}.
  3. Il existe une infinité de nombres premiers.

Indications : - (1) Supposer \sqrt{2} = p/q avec p \wedge q = 1. Montrer 2 \mid p puis 2 \mid q. - (3) Supposer p_1, \ldots, p_n premiers. Poser N = p_1 \cdots p_n + 1.

Exercice 5

Montrer par contraposée que :

  1. Si n^2 est pair, alors n est pair.
  2. Si ab est impair, alors a et b sont impairs.

Indication : La contraposée de (1) est : si n est impair, alors n^2 est impair.

Exercice 6

Soient A, B, C trois ensembles. Montrer que :

  1. A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)
  2. A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)
  3. A \setminus (B \cup C) = (A \setminus B) \cap (A \setminus C)
  4. A \setminus (B \cap C) = (A \setminus B) \cup (A \setminus C)

Exercice 7

Soit E un ensemble. Montrer que :

  1. \mathcal{P}(A \cap B) = \mathcal{P}(A) \cap \mathcal{P}(B)
  2. \mathcal{P}(A) \cup \mathcal{P}(B) \subset \mathcal{P}(A \cup B)
  3. L’inclusion en (2) est stricte en général. Donner un contre-exemple.

Indication : E = \{1,2\}, A = \{1\}, B = \{2\}. Alors \{1,2\} \in \mathcal{P}(A \cup B) mais \{1,2\} \notin \mathcal{P}(A) \cup \mathcal{P}(B).

Exercice 8

Soit f : E \to F une application. Montrer que :

  1. f est injective \iff \forall A \in \mathcal{P}(E),\; f^{-1}(f(A)) = A.
  2. f est surjective \iff \forall B \in \mathcal{P}(F),\; f(f^{-1}(B)) = B.
  3. f est injective \iff \forall A, B \in \mathcal{P}(E),\; f(A \cap B) = f(A) \cap f(B).

Exercice 9

Soient f : E \to F et g : F \to G deux applications. Montrer que :

  1. Si f et g sont injectives, alors g \circ f est injective.
  2. Si f et g sont surjectives, alors g \circ f est surjective.
  3. Si g \circ f est injective, alors f est injective.
  4. Si g \circ f est surjective, alors g est surjective.

Exercice 10

Soit f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} définie par f(x) = \dfrac{x}{1+|x|}.

  1. Montrer que f est bien définie sur \mathbb{R}.
  2. Montrer que f est injective.
  3. Montrer que f n’est pas surjective sur \mathbb{R}.
  4. Montrer que f réalise une bijection de \mathbb{R} sur ]-1, 1[ et déterminer sa réciproque.

Indications : - (2) Résoudre f(x) = f(y) en distinguant les cas x, y \geq 0 et x, y < 0. - (4) Pour y \in ]-1,1[, résoudre y = \frac{x}{1+|x|}.

Cours

Chapitre 01 : Vocabulaire ensembliste et méthodes de raisonnement