TD — Topologie des espaces normés

Chapitre 03

Auteur·rice

Saîd MAHARI

Date de publication

23 août 2026

PSI (2e année) — TD du Chapitre 03. Normes et EVN, suites d’éléments d’un EVN, comparaison de normes, topologie d’un EVN, étude locale et propriétés globales d’une application continue, EVN de dimension finie.

Exercice 1

Montrer que les applications suivantes définissent des normes sur \mathbb{R}^n :

  1. \|x\|_1 = \sum_{k=1}^n |x_k|
  2. \|x\|_2 = \sqrt{\sum_{k=1}^n x_k^2}
  3. \|x\|_\infty = \max_{1 \leq k \leq n} |x_k|

Exercice 2

Soit (E, \|\cdot\|) un EVN et (u_n) une suite convergente de limite l. Montrer que :

  1. \|u_n\| \to \|l\|.
  2. (u_n) est bornée.
  3. La limite est unique.

Exercice 3

Montrer que dans un EVN, toute boule ouverte est un ouvert et toute boule fermée est un fermé.

Exercice 4

Soient \mathcal{N}_1 et \mathcal{N}_2 deux normes sur un espace vectoriel E. Montrer que \mathcal{N}_1 et \mathcal{N}_2 sont équivalentes si et seulement s’il existe a, b > 0 tels que : \forall x \in E,\quad a\,\mathcal{N}_1(x) \leq \mathcal{N}_2(x) \leq b\,\mathcal{N}_1(x)

Exercice 5

Montrer que sur \mathbb{R}[X], les normes \|P\|_\infty = \max_k |a_k| et \|P\|_1 = \sum_k |a_k| ne sont pas équivalentes.

Indication : Prendre Q_n = 1 + X + \cdots + X^n. On a \|Q_n\|_\infty = 1 et \|Q_n\|_1 = n+1.

Exercice 6

Soit f : E \to F une application entre deux EVN. Montrer que f est continue en a si et seulement si pour toute suite (x_n) convergeant vers a, (f(x_n)) converge vers f(a).

Exercice 7

Soit K une partie compacte d’un EVN et f : K \to \mathbb{R} continue. Montrer que f est bornée et atteint ses bornes.

Exercice 8

Montrer que dans un EVN de dimension finie :

  1. Toute partie fermée et bornée est compacte.
  2. Tout sous-espace vectoriel est fermé.
  3. Toute partie compacte est fermée et bornée.

Exercice 9

Montrer que toute partie convexe d’un EVN est connexe par arcs.

Exercice 10

Soit (E, \|\cdot\|) un EVN de dimension finie et f : E \to F une application linéaire. Montrer que f est continue.

Indication : Utiliser l’équivalence des normes en dimension finie et la norme \|x\|_1 = \sum |x_k| dans une base.

Cours

Chapitre 03 : Topologie des espaces normés