TD — Rappels et compléments sur les espaces vectoriels, endomorphismes et matrices

Chapitre 01

Auteur·rice

Saîd MAHARI

Date de publication

23 août 2026

PSI (2e année) — TD du Chapitre 01. Produit et somme d’espaces vectoriels, matrices par blocs et sous-espaces stables, trace d’une matrice et d’un endomorphisme, polynômes d’endomorphismes et de matrices carrées, interpolation de Lagrange.

Exercice 1

Soient E_1, E_2, E_3 trois \mathbb{K}-espaces vectoriels de dimensions respectives n_1, n_2, n_3.

  1. Montrer que E_1 \times E_2 \times E_3 est un \mathbb{K}-espace vectoriel.
  2. Déterminer \dim(E_1 \times E_2 \times E_3).
  3. Déterminer une base de E_1 \times E_2 \times E_3 à partir de bases de E_1, E_2, E_3.

Exercice 2

Soit E un \mathbb{K}-espace vectoriel et F_1, F_2, F_3 trois sous-espaces vectoriels de E.

  1. Montrer que F_1 + F_2 + F_3 est un sous-espace vectoriel.
  2. Montrer que F_1 + F_2 + F_3 est une somme directe si et seulement si F_1 \cap F_2 = F_1 \cap F_3 = F_2 \cap F_3 = \{0\} et (F_1 + F_2) \cap F_3 = \{0\}.
  3. Montrer par un contre-exemple que F_i \cap F_j = \{0\} pour i \neq j ne suffit pas à garantir la somme directe.

Indication : Pour (3), prendre E = \mathbb{R}^2 et trois droites distinctes passant par l’origine.

Exercice 3

Soit E un \mathbb{K}-espace vectoriel et p \in \mathcal{L}(E) tel que p^2 = p.

  1. Montrer que E = \mathrm{Im}(p) \oplus \ker(p).
  2. Montrer que p est la projection sur \mathrm{Im}(p) parallèlement à \ker(p).
  3. Déterminer les valeurs propres possibles de p.

Exercice 4

Soit A = \begin{pmatrix} A_{11} & A_{12} \\ 0 & A_{22} \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K}) une matrice par blocs triangulaire par blocs, où A_{11} \in \mathcal{M}_p(\mathbb{K}) et A_{22} \in \mathcal{M}_{n-p}(\mathbb{K}).

  1. Montrer que \det(A) = \det(A_{11}) \cdot \det(A_{22}).
  2. Montrer que si A_{11} et A_{22} sont inversibles, alors A est inversible.
  3. Montrer que \mathrm{tr}(A) = \mathrm{tr}(A_{11}) + \mathrm{tr}(A_{22}).

Exercice 5

Soit E un \mathbb{K}-espace vectoriel de dimension n, F un sous-espace vectoriel de dimension p et u \in \mathcal{L}(E) tel que u(F) \subset F.

  1. Montrer que u induit un endomorphisme u_F : F \to F.
  2. Soit \mathcal{B} = (e_1, \ldots, e_n) une base de E telle que (e_1, \ldots, e_p) soit une base de F. Montrer que \mathrm{Mat}_{\mathcal{B}}(u) = \begin{pmatrix} A & C \\ 0 & D \end{pmatrix} où A = \mathrm{Mat}_{(e_1, \ldots, e_p)}(u_F).
  3. Montrer que \chi_u = \chi_A \cdot \chi_D.

Exercice 6

Soit E un \mathbb{K}-espace vectoriel de dimension finie et u \in \mathcal{L}(E).

  1. Montrer que \mathrm{tr}(u + v) = \mathrm{tr}(u) + \mathrm{tr}(v) pour tout v \in \mathcal{L}(E).
  2. Montrer que \mathrm{tr}(\lambda u) = \lambda \, \mathrm{tr}(u) pour tout \lambda \in \mathbb{K}.
  3. Montrer que \mathrm{tr}(u \circ v) = \mathrm{tr}(v \circ u) pour tout v \in \mathcal{L}(E).
  4. Montrer que \mathrm{tr}(p) = \mathrm{rg}(p) si p est un projecteur.

Exercice 7

Soit A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K}) et P \in \mathbb{K}[X].

  1. Montrer que l’application \Phi_A : \mathbb{K}[X] \to \mathcal{M}_n(\mathbb{K}) définie par P \mapsto P(A) est un morphisme d’algèbres.
  2. Montrer que \ker(\Phi_A) est un idéal de \mathbb{K}[X].
  3. Montrer que \ker(\Phi_A) \neq \{0\} (utiliser la dimension finie de \mathcal{M}_n(\mathbb{K})).
  4. On appelle polynôme minimal de A le générateur unitaire de \ker(\Phi_A). Montrer qu’il divise tout polynôme annulateur de A.

Exercice 8

Soit A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.

  1. Calculer A^n pour tout n \in \mathbb{N}.
  2. Déterminer le polynôme minimal de A.
  3. Calculer e^A = \sum_{k=0}^{+\infty} \frac{A^k}{k!}.

Indications : - (1) Écrire A = I_3 + N avec N^3 = 0 et utiliser le binôme de Newton. - (2) (A - I_3)^3 = 0 mais (A - I_3)^2 \neq 0.

Exercice 9

Soient a_0, a_1, \ldots, a_n des éléments de \mathbb{K} deux à deux distincts et b_0, b_1, \ldots, b_n \in \mathbb{K}.

  1. Montrer qu’il existe un unique polynôme P \in \mathbb{K}_n[X] tel que P(a_k) = b_k pour tout k \in \{0, \ldots, n\}.
  2. Montrer que ce polynôme est donné par la formule d’interpolation de Lagrange : P(X) = \sum_{k=0}^n b_k L_k(X) \quad \text{où} \quad L_k(X) = \prod_{\substack{j=0 \\ j \neq k}}^n \frac{X - a_j}{a_k - a_j}

Exercice 10

Soit f \in \mathcal{C}^{n+1}([a,b], \mathbb{R}) et a_0, \ldots, a_n \in [a,b] deux à deux distincts. Soit P le polynôme d’interpolation de Lagrange de f aux points a_0, \ldots, a_n. Montrer que pour tout x \in [a,b], il existe \xi \in ]a,b[ tel que : f(x) - P(x) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!} \prod_{k=0}^n (x - a_k)

Indication : Appliquer le théorème de Rolle à la fonction g(t) = f(t) - P(t) - \lambda \prod_{k=0}^n (t - a_k) avec \lambda bien choisi.

Cours

Chapitre 01 : Rappels et compléments sur les espaces vectoriels, endomorphismes et matrices