Rappels et compléments sur les espaces vectoriels, les endomorphismes et les matrices

Chapitre 01

Auteur·rice

Saîd MAHARI

Date de publication

22 août 2026

PSI (2e année) — Chapitre 01. Produit et somme d’espaces vectoriels, matrices par blocs et sous-espaces stables, trace d’une matrice et d’un endomorphisme, polynômes d’endomorphismes et de matrices carrées, interpolation de Lagrange.

Ce chapitre a été réalisé conformément au programme marocain de mathématiques de la filière PSI.

Dans tout ce chapitre, \mathbb{K} désigne \mathbb{R} ou \mathbb{C}.

1 Produit et somme d’espaces vectoriels

1.1 Produit d’espaces vectoriels

Définition 1.1 — (Produit d’espaces vectoriels)

Soient E_1, E_2, \ldots, E_p des \mathbb{K}-espaces vectoriels. Le produit E = E_1 \times E_2 \times \cdots \times E_p est muni d’une structure de \mathbb{K}-espace vectoriel par les lois : (x_1, \ldots, x_p) + (y_1, \ldots, y_p) = (x_1 + y_1, \ldots, x_p + y_p) \lambda \cdot (x_1, \ldots, x_p) = (\lambda x_1, \ldots, \lambda x_p)

Proposition 1.1

Si E_1, \ldots, E_p sont de dimensions finies, alors E = E_1 \times \cdots \times E_p est de dimension finie et : \dim(E) = \dim(E_1) + \dim(E_2) + \cdots + \dim(E_p)

Exemple 1.1

\mathbb{K}^n = \mathbb{K} \times \mathbb{K} \times \cdots \times \mathbb{K} (n fois) est un \mathbb{K}-espace vectoriel de dimension n.

1.2 Somme de sous-espaces vectoriels

Définition 1.2 — (Somme de sous-espaces)

Soient F_1, F_2, \ldots, F_p des sous-espaces vectoriels d’un \mathbb{K}-espace vectoriel E. La somme de ces sous-espaces est : F_1 + F_2 + \cdots + F_p = \{x_1 + x_2 + \cdots + x_p \mid x_i \in F_i\}

Définition 1.3 — (Somme directe)

La somme F_1 + F_2 + \cdots + F_p est dite directe, notée F_1 \oplus F_2 \oplus \cdots \oplus F_p, si tout vecteur de cette somme s’écrit de manière unique comme somme d’un vecteur de chaque F_i.

On a l’équivalence : F_1 + \cdots + F_p \text{ est directe} \iff \forall i, \; F_i \cap \sum_{j \neq i} F_j = \{0_E\}

Proposition 1.2 — (Dimension d’une somme directe)

Si E = F_1 \oplus F_2 \oplus \cdots \oplus F_p avec chaque F_i de dimension finie, alors : \dim(E) = \dim(F_1) + \dim(F_2) + \cdots + \dim(F_p)

Proposition 1.3 — (Formule de Grassmann)

Soient F et G deux sous-espaces vectoriels de dimension finie d’un \mathbb{K}-espace vectoriel E. Alors : \dim(F + G) = \dim(F) + \dim(G) - \dim(F \cap G)

Définition 1.4 — (Supplémentaires)

Deux sous-espaces vectoriels F et G de E sont dits supplémentaires si : E = F \oplus G

Proposition 1.4

Tout sous-espace vectoriel d’un espace vectoriel de dimension finie admet au moins un supplémentaire.

1.3 Projecteurs et symétries

Définition 1.5 — (Projecteur)

Soient F et G deux sous-espaces vectoriels supplémentaires de E. La projection sur F parallèlement à G est l’application linéaire p : E \to E définie par : \forall x = f + g \in E \text{ avec } (f, g) \in F \times G, \quad p(x) = f

On a p^2 = p, \mathrm{Im}(p) = F et \ker(p) = G.

Définition 1.6 — (Symétrie)

La symétrie par rapport à F parallèlement à G est l’application linéaire s : E \to E définie par : \forall x = f + g \in E \text{ avec } (f, g) \in F \times G, \quad s(x) = f - g

On a s^2 = \mathrm{Id}_E et s = 2p - \mathrm{Id}_E.

Proposition 1.5 — (Caractérisation)

Soit u \in \mathcal{L}(E).

  • u est un projecteur si et seulement si u^2 = u.
  • u est une symétrie si et seulement si u^2 = \mathrm{Id}_E.

2 Matrices par blocs et sous-espaces stables

2.1 Matrices par blocs

Définition 2.1 — (Matrice par blocs)

Une matrice par blocs est une matrice dont les coefficients sont regroupés en sous-matrices appelées blocs. Par exemple, si A \in \mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K}) et si on partitionne les lignes en deux groupes de tailles n_1 et n_2 (n_1 + n_2 = n) et les colonnes en deux groupes de tailles p_1 et p_2 (p_1 + p_2 = p), on peut écrire : A = \begin{pmatrix} A_{11} & A_{12} \\ A_{21} & A_{22} \end{pmatrix} où A_{11} \in \mathcal{M}_{n_1, p_1}(\mathbb{K}), A_{12} \in \mathcal{M}_{n_1, p_2}(\mathbb{K}), A_{21} \in \mathcal{M}_{n_2, p_1}(\mathbb{K}) et A_{22} \in \mathcal{M}_{n_2, p_2}(\mathbb{K}).

Proposition 2.1 — (Opérations sur les matrices par blocs)

Les opérations sur les matrices par blocs suivent les mêmes règles que les opérations sur les matrices usuelles, à condition que les tailles des blocs soient compatibles :

  • Addition : (A + B)_{ij} = A_{ij} + B_{ij}
  • Multiplication : (AB)_{ij} = \sum_k A_{ik} B_{kj}

Exemple 2.1

Si A = \begin{pmatrix} A_{11} & A_{12} \\ A_{21} & A_{22} \end{pmatrix} et B = \begin{pmatrix} B_{11} & B_{12} \\ B_{21} & B_{22} \end{pmatrix}, alors : AB = \begin{pmatrix} A_{11}B_{11} + A_{12}B_{21} & A_{11}B_{12} + A_{12}B_{22} \\ A_{21}B_{11} + A_{22}B_{21} & A_{21}B_{12} + A_{22}B_{22} \end{pmatrix}

2.2 Sous-espaces stables

Définition 2.2 — (Sous-espace stable)

Soient E un \mathbb{K}-espace vectoriel et u \in \mathcal{L}(E). Un sous-espace vectoriel F de E est dit stable par u (ou u-stable) si : u(F) \subset F

On parle alors de l’endomorphisme induit u_F : F \to F défini par u_F(x) = u(x) pour x \in F.

Proposition 2.2 — (Matrice par blocs et stabilité)

Soient E un \mathbb{K}-espace vectoriel de dimension finie n, F un sous-espace vectoriel de E de dimension p, et u \in \mathcal{L}(E).

Si F est stable par u et si \mathcal{B} = (e_1, \ldots, e_p, e_{p+1}, \ldots, e_n) est une base de E adaptée à F (c’est-à-dire (e_1, \ldots, e_p) est une base de F), alors la matrice de u dans la base \mathcal{B} est de la forme : \mathrm{Mat}_{\mathcal{B}}(u) = \begin{pmatrix} A & C \\ 0 & D \end{pmatrix} où A \in \mathcal{M}_p(\mathbb{K}) est la matrice de l’endomorphisme induit u_F dans la base (e_1, \ldots, e_p).

Proposition 2.3 — (Caractérisation par la matrice)

Réciproquement, si la matrice de u dans une base \mathcal{B} = (e_1, \ldots, e_n) est de la forme : \mathrm{Mat}_{\mathcal{B}}(u) = \begin{pmatrix} A & C \\ 0 & D \end{pmatrix} alors F = \mathrm{Vect}(e_1, \ldots, e_p) est stable par u.

Proposition 2.4 — (Cas d’une décomposition en somme directe)

Soient F et G deux sous-espaces vectoriels supplémentaires de E stables par u. Si \mathcal{B} = (e_1, \ldots, e_p, e_{p+1}, \ldots, e_n) est une base de E adaptée à la décomposition E = F \oplus G, alors : \mathrm{Mat}_{\mathcal{B}}(u) = \begin{pmatrix} A & 0 \\ 0 & D \end{pmatrix} où A est la matrice de u_F et D est la matrice de u_G.

Exemple 2.2 — (Matrice d’un projecteur)

Si p est un projecteur sur F parallèlement à G avec E = F \oplus G, et si \mathcal{B} est une base adaptée, alors : \mathrm{Mat}_{\mathcal{B}}(p) = \begin{pmatrix} I_p & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}

Exemple 2.3 — (Matrice d’une symétrie)

Si s est une symétrie par rapport à F parallèlement à G avec E = F \oplus G, et si \mathcal{B} est une base adaptée, alors : \mathrm{Mat}_{\mathcal{B}}(s) = \begin{pmatrix} I_p & 0 \\ 0 & -I_{n-p} \end{pmatrix}

3 Trace d’une matrice et d’un endomorphisme

3.1 Trace d’une matrice carrée

Définition 3.1 — (Trace d’une matrice)

Soit A = (a_{ij}) \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K}). La trace de A est : \mathrm{tr}(A) = \sum_{i=1}^n a_{ii}

Proposition 3.1 — (Propriétés de la trace)

Soient A, B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K}) et \lambda \in \mathbb{K}.

  1. Linéarité : \mathrm{tr}(\lambda A + B) = \lambda \mathrm{tr}(A) + \mathrm{tr}(B)
  2. Invariance par transposition : \mathrm{tr}({}^tA) = \mathrm{tr}(A)
  3. Trace d’un produit : \mathrm{tr}(AB) = \mathrm{tr}(BA)
  4. Trace de l’identité : \mathrm{tr}(I_n) = n

Proposition 3.2 — (Trace d’une matrice triangulaire)

Si A est une matrice triangulaire (supérieure ou inférieure), alors : \mathrm{tr}(A) = \sum_{i=1}^n a_{ii}

Proposition 3.3 — (Trace d’une matrice diagonalisable)

Si A est diagonalisable avec A = PDP^{-1} où D = \mathrm{Diag}(\lambda_1, \ldots, \lambda_n), alors : \mathrm{tr}(A) = \lambda_1 + \lambda_2 + \cdots + \lambda_n

3.2 Trace d’un endomorphisme

Définition 3.2 — (Trace d’un endomorphisme)

Soit E un \mathbb{K}-espace vectoriel de dimension finie et u \in \mathcal{L}(E). La trace de u est : \mathrm{tr}(u) = \mathrm{tr}(\mathrm{Mat}_{\mathcal{B}}(u)) où \mathcal{B} est une base quelconque de E.

Proposition 3.4 — (Indépendance de la base)

La trace d’un endomorphisme ne dépend pas du choix de la base.

Preuve. Si \mathcal{B} et \mathcal{B}' sont deux bases de E, alors \mathrm{Mat}_{\mathcal{B}'}(u) = P^{-1} \mathrm{Mat}_{\mathcal{B}}(u) P où P est la matrice de passage. Donc : \mathrm{tr}(\mathrm{Mat}_{\mathcal{B}'}(u)) = \mathrm{tr}(P^{-1} \mathrm{Mat}_{\mathcal{B}}(u) P) = \mathrm{tr}(\mathrm{Mat}_{\mathcal{B}}(u) P P^{-1}) = \mathrm{tr}(\mathrm{Mat}_{\mathcal{B}}(u))

Proposition 3.5 — (Trace et valeurs propres)

Si u est diagonalisable avec des valeurs propres \lambda_1, \ldots, \lambda_n (comptées avec multiplicité), alors : \mathrm{tr}(u) = \lambda_1 + \lambda_2 + \cdots + \lambda_n

Proposition 3.6 — (Trace et projecteur)

Si p est un projecteur de E, alors : \mathrm{tr}(p) = \mathrm{rg}(p) = \dim(\mathrm{Im}(p))

4 Polynômes d’endomorphismes et de matrices carrées

4.1 Morphisme d’évaluation

Définition 4.1 — (Polynôme d’endomorphisme)

Soit u \in \mathcal{L}(E). Pour tout polynôme P = \sum_{k=0}^d a_k X^k \in \mathbb{K}[X], on définit : P(u) = \sum_{k=0}^d a_k u^k où u^0 = \mathrm{Id}_E et u^k = u \circ u \circ \cdots \circ u (k fois).

Définition 4.2 — (Polynôme de matrice)

Soit A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K}). Pour tout polynôme P = \sum_{k=0}^d a_k X^k \in \mathbb{K}[X], on définit : P(A) = \sum_{k=0}^d a_k A^k où A^0 = I_n et A^k = A \cdot A \cdot \cdots \cdot A (k fois).

Proposition 4.1 — (Morphisme de \boldsymbol{\mathbb{K}}-algèbres)

L’application \Phi_u : \mathbb{K}[X] \to \mathcal{L}(E) définie par P \mapsto P(u) est un morphisme de \mathbb{K}-algèbres. De même, \Phi_A : P \mapsto P(A) est un morphisme de \mathbb{K}-algèbres.

4.2 Idéal annulateur et polynôme minimal

Définition 4.3 — (Polynôme annulateur)

Un polynôme P \in \mathbb{K}[X] est dit annulateur de u (resp. de A) si P(u) = 0 (resp. P(A) = 0).

L’ensemble des polynômes annulateurs de u est un idéal de \mathbb{K}[X], appelé idéal annulateur de u.

Théorème 4.1 — (Existence du polynôme minimal)

Soit E un \mathbb{K}-espace vectoriel de dimension finie et u \in \mathcal{L}(E). Alors l’idéal annulateur de u est non réduit à \{0\}.

Il existe un unique polynôme unitaire P_u \in \mathbb{K}[X] de plus petit degré annulant u, appelé polynôme minimal de u. On a : \{P \in \mathbb{K}[X] \mid P(u) = 0\} = P_u \cdot \mathbb{K}[X]

Proposition 4.2 — (Lien entre polynôme minimal et valeurs propres)

Si \lambda est une valeur propre de u, alors \lambda est une racine du polynôme minimal P_u.

Proposition 4.3 — (Polynôme minimal d’une matrice diagonalisable)

Si A est diagonalisable avec des valeurs propres distinctes \lambda_1, \ldots, \lambda_r, alors : P_A(X) = \prod_{k=1}^r (X - \lambda_k)

Exemple 4.1

Soit A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}. Le polynôme caractéristique est \chi_A(X) = (X-2)^2.

On vérifie que A - 2I_2 = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \neq 0 mais (A - 2I_2)^2 = 0.

Donc le polynôme minimal est P_A(X) = (X-2)^2.

4.3 Théorème de Cayley-Hamilton

Théorème 4.2 — (Théorème de Cayley-Hamilton)

Soit A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K}) et \chi_A son polynôme caractéristique. Alors : \chi_A(A) = 0

Autrement dit, le polynôme caractéristique est un polynôme annulateur de A.

Corollaire 4.1

Le polynôme minimal P_A divise le polynôme caractéristique \chi_A.

5 Interpolation de Lagrange

5.1 Polynômes de Lagrange

Définition 5.1 — (Polynômes de Lagrange)

Soient a_0, a_1, \ldots, a_n des éléments de \mathbb{K} deux à deux distincts. Pour chaque k \in \{0, 1, \ldots, n\}, on définit le polynôme de Lagrange : L_k(X) = \prod_{\substack{j=0 \\ j \neq k}}^n \frac{X - a_j}{a_k - a_j}

Proposition 5.1 — (Propriétés des polynômes de Lagrange)

Les polynômes de Lagrange vérifient :

  1. L_k \in \mathbb{K}_n[X] pour tout k.
  2. L_k(a_j) = \delta_{k,j} (symbole de Kronecker) pour tous k, j.
  3. \sum_{k=0}^n L_k(X) = 1.

5.2 Théorème d’interpolation de Lagrange

Théorème 5.1 — (Théorème d’interpolation de Lagrange)

Soient a_0, a_1, \ldots, a_n des éléments de \mathbb{K} deux à deux distincts et b_0, b_1, \ldots, b_n des éléments de \mathbb{K}. Alors il existe un unique polynôme P \in \mathbb{K}_n[X] tel que : P(a_k) = b_k \quad \text{pour tout } k \in \{0, 1, \ldots, n\}

Ce polynôme est donné par la formule d’interpolation de Lagrange : \boxed{P(X) = \sum_{k=0}^n b_k L_k(X) = \sum_{k=0}^n b_k \prod_{\substack{j=0 \\ j \neq k}}^n \frac{X - a_j}{a_k - a_j}}

Preuve. Si P et Q sont deux polynômes de \mathbb{K}_n[X] vérifiant P(a_k) = Q(a_k) = b_k pour tout k, alors P - Q est un polynôme de degré \leq n qui s’annule en n+1 points distincts. Donc P - Q = 0, c’est-à-dire P = Q.

Preuve. Le polynôme P(X) = \sum_{k=0}^n b_k L_k(X) vérifie : P(a_j) = \sum_{k=0}^n b_k L_k(a_j) = \sum_{k=0}^n b_k \delta_{k,j} = b_j

Exemple 5.1

Trouver le polynôme P \in \mathbb{R}_2[X] tel que P(0) = 1, P(1) = 2 et P(2) = 5.

Les polynômes de Lagrange sont : L_0(X) = \frac{(X-1)(X-2)}{(0-1)(0-2)} = \frac{(X-1)(X-2)}{2} L_1(X) = \frac{(X-0)(X-2)}{(1-0)(1-2)} = -X(X-2) L_2(X) = \frac{(X-0)(X-1)}{(2-0)(2-1)} = \frac{X(X-1)}{2}

Donc : P(X) = 1 \cdot L_0(X) + 2 \cdot L_1(X) + 5 \cdot L_2(X) = X^2 + 1

5.3 Lien avec le déterminant de Vandermonde

Proposition 5.2 — (Déterminant de Vandermonde)

Soient a_0, a_1, \ldots, a_n des éléments de \mathbb{K}. Le déterminant de la matrice de Vandermonde : V = \begin{pmatrix} 1 & 1 & \cdots & 1 \\ a_0 & a_1 & \cdots & a_n \\ a_0^2 & a_1^2 & \cdots & a_n^2 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_0^n & a_1^n & \cdots & a_n^n \end{pmatrix} est : \det(V) = \prod_{0 \leq i < j \leq n} (a_j - a_i)

Corollaire 5.1

La matrice de Vandermonde est inversible si et seulement si les a_i sont deux à deux distincts. C’est une autre démonstration de l’unicité du polynôme d’interpolation.

6 Exercices

Exercice 6.1

Soient F = \{(x, y, z) \in \mathbb{R}^3 \mid x + y + z = 0\} et G = \{(x, y, z) \in \mathbb{R}^3 \mid x = y = z\}.

  1. Montrer que F et G sont des sous-espaces vectoriels de \mathbb{R}^3.
  2. Montrer que \mathbb{R}^3 = F \oplus G.
  3. Déterminer la matrice de la projection sur F parallèlement à G dans la base canonique.

Exercice 6.2

Soit A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}.

  1. Calculer \mathrm{tr}(A) et \det(A).
  2. A est-elle diagonalisable ?
  3. Déterminer le polynôme minimal de A.

Exercice 6.3

Soit u \in \mathcal{L}(E) avec \dim(E) = 3 et \mathrm{Mat}_{\mathcal{B}}(u) = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.

  1. Montrer que u^3 = 0 mais u^2 \neq 0.
  2. Déterminer le polynôme minimal de u.
  3. u est-elle diagonalisable ?

Exercice 6.4 — (Interpolation de Lagrange)

Trouver le polynôme P \in \mathbb{R}_3[X] tel que : P(0) = 1, \quad P(1) = 0, \quad P(2) = 1, \quad P(3) = 0

Exercice 6.5

Soit A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K}) inversible. Montrer que \mathrm{tr}(A^{-1}) = \frac{1}{\det(A)} \mathrm{tr}(\mathrm{Com}(A)) où \mathrm{Com}(A) est la comatrice de A.

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Chapitre 01 : Rappels et compléments sur les espaces vectoriels, les endomorphismes et les matrices