TD — Fonctions de la variable réelle, dérivation
Chapitre 07
PCSI (1re année) — TD du Chapitre 07. Dérivabilité, théorème de Rolle, accroissements finis, dérivées d’ordre supérieur, classes \mathcal{C}^k, suites récurrentes.
Exercice 1
Montrer le théorème de Rolle : soit f : [a,b] \to \mathbb{R} continue sur [a,b], dérivable sur ]a,b[ avec f(a) = f(b). Alors il existe c \in ]a,b[ tel que f'(c) = 0.
Exercice 2
Montrer le théorème des accroissements finis : soit f : [a,b] \to \mathbb{R} continue sur [a,b], dérivable sur ]a,b[. Alors il existe c \in ]a,b[ tel que : f(b) - f(a) = (b-a)f'(c)
Indication : Appliquer Rolle à g(x) = f(x) - f(a) - \frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a).
Exercice 3
Soit f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} dérivable avec f'(x) \geq 0 pour tout x. Montrer que f est croissante.
Exercice 4
Soit f : ]a,b[ \to \mathbb{R} dérivable avec f'(x) = 0 pour tout x. Montrer que f est constante.
Exercice 5
Soit f : [0,1] \to \mathbb{R} continue, dérivable sur ]0,1[ avec f(0) = 0 et f(1) = 1. Montrer qu’il existe c_1, c_2 \in ]0,1[ distincts tels que : \dfrac{1}{f'(c_1)} + \dfrac{1}{f'(c_2)} = 2
Indications : - TVI : il existe a \in ]0,1[ avec f(a) = 1/2. - TAF sur [0,a] et [a,1].
Exercice 6
Soit f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} de classe \mathcal{C}^2 avec f''(x) \geq 0 pour tout x. Montrer que f est convexe.
Exercice 7
Montrer par récurrence la formule de Leibniz : (fg)^{(n)} = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} f^{(k)} g^{(n-k)}
Exercice 8
Soit f : [0,+\infty[ \to \mathbb{R} continue, dérivable sur ]0,+\infty[ avec f(0) = 0 et f' croissante. Montrer que g(x) = \dfrac{f(x)}{x} est croissante sur ]0,+\infty[.
Indication : g'(x) = \frac{xf'(x) - f(x)}{x^2}. Montrer xf'(x) \geq f(x).
Exercice 9
Soit f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} de classe \mathcal{C}^1 avec f' bornée. Montrer que f est lipschitzienne.
Indication : TAF : |f(x)-f(y)| \leq M|x-y| où M = \sup |f'|.
Exercice 10
Soit (u_n) définie par u_0 = 1 et u_{n+1} = \sqrt{u_n + 1}. Utiliser le théorème des accroissements finis pour majorer |u_n - \ell| où \ell est la limite.
Indications : - Montrer que (u_n) converge vers \ell = \frac{1+\sqrt{5}}{2}. - TAF : |u_{n+1} - \ell| = |f(u_n) - f(\ell)| \leq \sup |f'| \cdot |u_n - \ell|.