Calcul différentiel
Chapitre 12
PSI (2e année) — Chapitre 12. Fonctions de classe \mathcal{C}^1, règle de la chaîne, vecteur gradient, applications géométriques (tangentes, plans tangents), applications de classe \mathcal{C}^2, extremums d’une fonction de \mathbb{R}^n dans \mathbb{R}.
Ce chapitre a été réalisé conformément au programme marocain de mathématiques de la filière PSI.
Dans tout ce chapitre, E = \mathbb{R}^p et F = \mathbb{R}^n sont des espaces vectoriels normés de dimensions finies p et n, munis de bases \mathcal{B}_E = (e_1, \ldots, e_p) et \mathcal{B}_F = (v_1, \ldots, v_n). On note \Omega un ouvert de E et f : \Omega \to F une application. Dans la pratique, E = \mathbb{R}^p et F = \mathbb{R}^n sont munis de leurs bases canoniques.
1 Fonctions de classe \mathcal{C}^1
1.1 Dérivée selon un vecteur
Définition 1.1 — (Application partielle en un point selon un vecteur)
Soit a \in \Omega et h \in E \setminus \{0\}. Comme \Omega est ouvert, il existe \delta > 0 tel que pour tout t \in ]-\delta, \delta[, a + th \in \Omega. On peut donc définir l’application partielle de f en a selon le vecteur h : f_{a,h} : ]-\delta, \delta[ \to F, \quad t \mapsto f(a + th)
Définition 1.2 — (Dérivée selon un vecteur)
On dit que f admet une dérivée en a selon le vecteur h si l’application partielle f_{a,h} est dérivable en 0. On note alors : D_h f(a) = f_{a,h}'(0) = \lim_{t \to 0} \frac{f(a + th) - f(a)}{t}
Proposition 1.1 — (Caractérisation par les composantes)
Soit f = (f_1, \ldots, f_n) avec f_i : \Omega \to \mathbb{R}. Alors f admet une dérivée en a selon h si et seulement si toutes les composantes f_i admettent une dérivée en a selon h. Dans ce cas : D_h f(a) = \sum_{i=1}^n (D_h f_i)(a) \cdot v_i
1.2 Dérivées partielles
Définition 1.3 — (Dérivée partielle)
On dit que f est partiellement dérivable en a selon la variable x_j si f admet une dérivée en a selon le vecteur e_j de la base \mathcal{B}_E. On note : \frac{\partial f}{\partial x_j}(a) = \partial_j f(a) = D_{e_j} f(a) = \lim_{t \to 0} \frac{f(a + t e_j) - f(a)}{t}
Exemple 1.1
Pour f(x, y) = x^2 y + e^{xy} définie sur \mathbb{R}^2 : \frac{\partial f}{\partial x}(x, y) = 2xy + y e^{xy}, \quad \frac{\partial f}{\partial y}(x, y) = x^2 + x e^{xy}
Proposition 1.2 — (Dérivée selon tout vecteur pour une fonction \boldsymbol{\mathcal{C}^1})
Si f : \Omega \to \mathbb{R} est de classe \mathcal{C}^1 sur l’ouvert \Omega, alors pour tout point a \in \Omega et tout vecteur non nul h = (h_1, \ldots, h_p) \in \mathbb{R}^p, f admet une dérivée selon le vecteur h au point a et : D_h f(a) = \sum_{k=1}^p h_k \frac{\partial f}{\partial x_k}(a)
1.3 Différentielle
Définition 1.4 — (Différentielle)
On dit que f : \Omega \to F est différentiable en a s’il existe une application linéaire L \in \mathcal{L}(E, F) telle que : f(a + h) = f(a) + L(h) + o(\|h\|) \quad \text{quand } h \to 0
L’application linéaire L, si elle existe, est unique. On l’appelle la différentielle de f en a et on la note df(a) ou d_a f.
Proposition 1.3 — (Différentiabilité implique continuité)
Si f est différentiable en a, alors f est continue en a.
Proposition 1.4 — (Différentiabilité et dérivées selon les vecteurs)
Si f est différentiable en a, alors f admet une dérivée en a selon tout vecteur h \neq 0 et : D_h f(a) = df(a)(h)
Proposition 1.5 — (Différentiabilité et dérivées partielles)
Si f est différentiable en a, alors f possède en a une dérivée partielle selon chacune de ses variables et : df(a)(e_j) = \frac{\partial f}{\partial x_j}(a)
De plus, pour tout h = (h_1, \ldots, h_p) \in E : df(a)(h) = \sum_{j=1}^p h_j \frac{\partial f}{\partial x_j}(a)
La réciproque est fausse : l’existence des dérivées partielles n’implique pas la différentiabilité.
1.4 Matrice Jacobienne
Définition 1.5 — (Matrice Jacobienne)
Si f est différentiable en a, la matrice Jacobienne de f en a, notée J_f(a), est la matrice de df(a) dans les bases \mathcal{B}_E et \mathcal{B}_F : J_f(a) = \begin{pmatrix} \frac{\partial f_1}{\partial x_1}(a) & \cdots & \frac{\partial f_1}{\partial x_p}(a) \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{\partial f_n}{\partial x_1}(a) & \cdots & \frac{\partial f_n}{\partial x_p}(a) \end{pmatrix}
1.5 Vecteur Gradient
Définition 1.6 — (Gradient)
Soit f : \Omega \to \mathbb{R} une fonction numérique différentiable en a. Le gradient de f en a est le vecteur : \nabla f(a) = \left(\frac{\partial f}{\partial x_1}(a), \ldots, \frac{\partial f}{\partial x_p}(a)\right)
Alors pour tout accroissement h = (h_1, \ldots, h_p) : D_h f(a) = df(a)(h) = \langle \nabla f(a), h \rangle
1.6 Définition des fonctions de classe \mathcal{C}^1
Définition 1.7 — (Fonction de classe \boldsymbol{\mathcal{C}^1})
On dit que f : \Omega \to F est de classe \mathcal{C}^1 sur \Omega si toutes les dérivées partielles \frac{\partial f_i}{\partial x_j} existent et sont continues sur \Omega.
Proposition 1.6
Une fonction de classe \mathcal{C}^1 sur \Omega est différentiable en tout point de \Omega.
Proposition 1.7 — (Caractérisation des fonctions de classe \boldsymbol{\mathcal{C}^1})
Soit f : \Omega \to \mathbb{R} une fonction numérique. Alors f est de classe \mathcal{C}^1 sur \Omega si et seulement si les p fonctions dérivées partielles \frac{\partial f}{\partial x_j}, j \in \{1, \ldots, p\}, sont définies et continues sur \Omega.
1.7 Opérations sur les fonctions de classe \mathcal{C}^1
Proposition 1.8 — (Opérations sur les fonctions de classe \boldsymbol{\mathcal{C}^1})
Linéarité : L’ensemble des fonctions de classe \mathcal{C}^1 sur \Omega est un \mathbb{R}-espace vectoriel et l’application f \mapsto df(a) est linéaire.
Produit : Si f, g : \Omega \to \mathbb{R} sont de classe \mathcal{C}^1, alors fg est de classe \mathcal{C}^1 et : d(fg)(a) = g(a) \, df(a) + f(a) \, dg(a)
Quotient : Si f, g : \Omega \to \mathbb{R} sont de classe \mathcal{C}^1 et g ne s’annule pas sur \Omega, alors \frac{f}{g} est de classe \mathcal{C}^1 et : d\left(\frac{f}{g}\right)(a) = \frac{g(a) \, df(a) - f(a) \, dg(a)}{(g(a))^2}
Proposition 1.9 — (Composition par bilinéarité)
Soient G et H deux espaces sur \mathbb{R} de dimensions finies, B une application bilinéaire de F \times G dans H, et f : \Omega \to F, g : \Omega \to G de classe \mathcal{C}^1. Alors B(f, g) est de classe \mathcal{C}^1 et : d(B(f,g))(a) \cdot h = B(df(a) \cdot h, g(a)) + B(f(a), dg(a) \cdot h)
2 Règle de la chaîne et composition
2.1 Différentielle d’une composée
Proposition 2.1 — (Différentielle d’une composée)
Soient f : \Omega \subset E \to F et g : \Omega' \subset F \to G avec f(\Omega) \subset \Omega'.
Si f est différentiable en a \in \Omega et g est différentiable en b = f(a), alors h = g \circ f est différentiable en a et : dh(a) = d(g \circ f)(a) = dg(f(a)) \circ df(a)
Proposition 2.2 — (Jacobienne d’une composée)
Si f est différentiable en a et g en b = f(a) : J_h(a) = J_{g \circ f}(a) = J_g(f(a)) \times J_f(a)
2.2 Règle de la chaîne
Proposition 2.3 — (Règle de la chaîne)
Soient f : \Omega \subset \mathbb{R}^p \to \mathbb{R}^n et g : \Omega' \subset \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m deux fonctions de classe \mathcal{C}^1. On pose h = g \circ f. Alors h est de classe \mathcal{C}^1 et pour tout j \in \{1, \ldots, p\} : \frac{\partial h}{\partial x_j}(a) = \sum_{i=1}^n \frac{\partial g}{\partial y_i}(f(a)) \cdot \frac{\partial f_i}{\partial x_j}(a)
Exemple 2.1 — (Cas particulier : \boldsymbol{E = \mathbb{R}})
Si f : I \to \Omega' est de classe \mathcal{C}^1 sur un intervalle I de \mathbb{R} et g : \Omega' \to \mathbb{R} est de classe \mathcal{C}^1, alors h = g \circ f est de classe \mathcal{C}^1 et : h'(t) = \sum_{i=1}^n \frac{\partial g}{\partial y_i}(f(t)) \cdot f_i'(t)
2.3 Interprétation géométrique en termes de tangentes
Proposition 2.4 — (Interprétation géométrique)
Soit \gamma : I \to \Omega un arc paramétré de classe \mathcal{C}^1 et f : \Omega \to F une application de classe \mathcal{C}^1. Alors f \circ \gamma est de classe \mathcal{C}^1 et : (f \circ \gamma)'(t) = df(\gamma(t)) \cdot \gamma'(t)
En prenant \gamma(t) = a + th, on obtient : D_h f(a) = \frac{d}{dt} f(a + th) \bigg|_{t=0} = df(a)(h)
3 Applications géométriques
3.1 Tangente à une courbe
Définition 3.1 — (Vecteur tangent)
Soit \gamma : I \to \mathbb{R}^n un arc paramétré de classe \mathcal{C}^1 et a = \gamma(t_0). Le vecteur \gamma'(t_0) est appelé vecteur tangent à la courbe \gamma au point a.
Si \gamma'(t_0) \neq 0, la droite passant par a et dirigée par \gamma'(t_0) est la tangente à la courbe au point a.
3.2 Plan tangent à une surface
Définition 3.2 — (Plan tangent)
Soient f \in \mathcal{C}^1(\Omega, \mathbb{R}) et \Sigma la surface d’équation f(M) = 0. On appelle plan tangent en le point régulier M_0 \in \Sigma le plan passant par ce point et orthogonal à \nabla f(M_0).
Proposition 3.1 — (Équation du plan tangent)
Avec les notations précédentes, une équation du plan tangent à \Sigma en M_0 est : \langle \nabla f(M_0), M \rangle = \langle \nabla f(M_0), M_0 \rangle
Autrement dit, si M_0 = (x_0, y_0, z_0), l’équation du plan tangent est : \frac{\partial f}{\partial x}(M_0)(x - x_0) + \frac{\partial f}{\partial y}(M_0)(y - y_0) + \frac{\partial f}{\partial z}(M_0)(z - z_0) = 0
Exemple 3.1
Soit f(x, y) = x^2 + y^2. Le graphe de f est la surface \Sigma : z = x^2 + y^2.
Au point M_0 = (1, 1, 2), on a \nabla f(1, 1) = (2, 2).
L’équation du plan tangent est : 2(x - 1) + 2(y - 1) - (z - 2) = 0 \iff z = 2x + 2y - 2
3.3 Vecteurs tangents au graphe d’une fonction
Proposition 3.2
Soit f : \Omega \subset \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R} différentiable et X le graphe de f, c’est-à-dire la partie de \mathbb{R}^3 définie par : X = \{(x, y, z) \mid (x, y) \in \Omega \text{ et } z = f(x, y)\}
Les vecteurs tangents à X en (a, b, c) \in X constituent le plan d’équation : \frac{\partial f}{\partial x}(a, b) \cdot x + \frac{\partial f}{\partial y}(a, b) \cdot y - z = 0
4 Applications de classe \mathcal{C}^2
4.1 Définition
Définition 4.1 — (Dérivées partielles d’ordre 2)
Soit U \subset \mathbb{R}^2 un ouvert et f : U \to \mathbb{R} une fonction numérique de classe \mathcal{C}^1(U, \mathbb{R}). On peut donc définir les fonctions dérivées partielles : \frac{\partial f}{\partial x} : U \to \mathbb{R}, \quad a \mapsto \frac{\partial f}{\partial x}(a) \quad \text{et} \quad \frac{\partial f}{\partial y} : U \to \mathbb{R}, \quad a \mapsto \frac{\partial f}{\partial y}(a)
Si ces fonctions sont elles-mêmes dérivables, on obtient les dérivées partielles d’ordre 2 : \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}, \quad \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}, \quad \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}, \quad \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}
Définition 4.2 — (Fonction de classe \boldsymbol{\mathcal{C}^2})
f est de classe \mathcal{C}^2 si et seulement si f et ses p dérivées partielles \frac{\partial f}{\partial x_j} sont de classe \mathcal{C}^1, c’est-à-dire si les p^2 applications \frac{\partial}{\partial x_k}\left(\frac{\partial f}{\partial x_j}\right) sont définies et continues sur \Omega.
4.2 Théorème de Schwarz
Théorème 4.1 — (Théorème de Schwarz)
Si f est de classe \mathcal{C}^2 sur \Omega, alors pour tout (j, k) \in \{1, \ldots, p\}^2 : \frac{\partial^2 f}{\partial x_j \partial x_k} = \frac{\partial^2 f}{\partial x_k \partial x_j}
Autrement dit, les opérateurs \partial_j et \partial_k commutent.
Plus généralement, si f est de classe \mathcal{C}^k, pour toute permutation \sigma de \{1, \ldots, k\} et pour tout (i_1, \ldots, i_k) \in \{1, \ldots, p\}^k : \frac{\partial^k f}{\partial x_{i_1} \cdots \partial x_{i_k}} = \frac{\partial^k f}{\partial x_{i_{\sigma(1)}} \cdots \partial x_{i_{\sigma(k)}}}
4.3 Développement limité à l’ordre 2
Proposition 4.1 — (Développement limité à l’ordre 2)
Soit f : \Omega \to \mathbb{R} une fonction de classe \mathcal{C}^2 sur \Omega. Alors pour tout a \in \Omega et tout h assez petit : f(a + h) = f(a) + df(a)(h) + \frac{1}{2} d^2 f(a)(h, h) + o(\|h\|^2)
où d^2 f(a)(h, h) est la forme quadratique associée à la différentielle seconde : d^2 f(a)(h, h) = \sum_{j,k=1}^p \frac{\partial^2 f}{\partial x_j \partial x_k}(a) h_j h_k
4.4 Exemples d’équations aux dérivées partielles
Exemple 4.1 — (Changement de variable linéaire)
Soit \varphi : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2 définie par \varphi(u, v) = (au + bv, cu + dv) avec ad - bc \neq 0. Alors \varphi est un isomorphisme de classe \mathcal{C}^\infty.
Si f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R} est de classe \mathcal{C}^2 et g(u, v) = f(au + bv, cu + dv), alors g est de classe \mathcal{C}^2 et : \frac{\partial g}{\partial u}(u, v) = a \frac{\partial f}{\partial x}(au + bv, cu + dv) + c \frac{\partial f}{\partial y}(au + bv, cu + dv) \frac{\partial g}{\partial v}(u, v) = b \frac{\partial f}{\partial x}(au + bv, cu + dv) + d \frac{\partial f}{\partial y}(au + bv, cu + dv)
Exemple 4.2 — (Changement de variable en coordonnées polaires)
On pose x = r\cos\theta et y = r\sin\theta. Alors : \frac{\partial F}{\partial r}(r, \theta) = \cos\theta \frac{\partial f}{\partial x}(r\cos\theta, r\sin\theta) + \sin\theta \frac{\partial f}{\partial y}(r\cos\theta, r\sin\theta) \frac{\partial F}{\partial \theta}(r, \theta) = -r\sin\theta \frac{\partial f}{\partial x}(r\cos\theta, r\sin\theta) + r\cos\theta \frac{\partial f}{\partial y}(r\cos\theta, r\sin\theta)
Exemple 4.3 — (Équation aux dérivées partielles du premier ordre)
Résoudre l’équation \frac{\partial f}{\partial x} = 0 sur \mathbb{R}^2.
On a \frac{\partial f}{\partial x} = 0 si et seulement s’il existe h : \mathbb{R} \to \mathbb{R} de classe \mathcal{C}^1 telle que : \forall (x, y) \in \mathbb{R}^2, \quad f(x, y) = h(y)
Exemple 4.4 — (Équation des ondes)
Résoudre l’équation des ondes \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} - \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = 0 en utilisant un changement de variable linéaire.
En posant u = x + y et v = x - y, on obtient \frac{\partial^2 f}{\partial u \partial v} = 0, dont les solutions sont de la forme : f(u, v) = \varphi(u) + \psi(v) où \varphi et \psi sont des fonctions de classe \mathcal{C}^2.
5 Extremums d’une fonction de \mathbb{R}^n dans \mathbb{R}
5.1 Définitions
Définition 5.1 — (Extremum local)
Soit f : \Omega \to \mathbb{R} une fonction numérique. On dit que f admet un maximum local (resp. minimum local) en a \in \Omega s’il existe un voisinage V de a dans \Omega tel que : \forall x \in V, \quad f(x) \leq f(a) \quad (\text{resp. } f(x) \geq f(a))
On dit que f admet un extremum local en a si f admet un maximum local ou un minimum local en a.
Définition 5.2 — (Extremum global)
On dit que f admet un maximum global (resp. minimum global) en a \in \Omega si : \forall x \in \Omega, \quad f(x) \leq f(a) \quad (\text{resp. } f(x) \geq f(a))
Définition 5.3 — (Point critique)
On dit que a \in \Omega est un point critique de f si f est différentiable en a et : df(a) = 0 \quad \text{c'est-à-dire} \quad \nabla f(a) = 0
5.2 Théorème d’ordre 1
Théorème 5.1 — (Condition nécessaire d’ordre 1)
Soit f : \Omega \to \mathbb{R} une fonction de classe \mathcal{C}^1 sur \Omega. Si f admet un extremum local en a \in \Omega, alors : df(a) = 0 \quad \text{c'est-à-dire} \quad \nabla f(a) = 0
Preuve. Soit h \in E un vecteur non nul. Comme \Omega est ouvert, il existe \delta > 0 tel que pour tout t \in ]-\delta, \delta[, a + th \in \Omega. La fonction : \varphi(t) = f(a + th) admet un extremum local en t = 0. Comme \varphi est dérivable en 0, on a \varphi'(0) = 0, c’est-à-dire df(a)(h) = 0. Ceci étant vrai pour tout h, on a df(a) = 0.
5.3 Étude au second ordre
Proposition 5.1 — (Condition suffisante d’ordre 2)
Soit f : \Omega \to \mathbb{R} une fonction de classe \mathcal{C}^2 sur un ouvert \Omega de \mathbb{R}^n. Si a \in \Omega est un point critique (\nabla f(a) = 0), alors :
- Si la matrice hessienne H_f(a) est définie positive, f admet un minimum local strict en a.
- Si la matrice hessienne H_f(a) est définie négative, f admet un maximum local strict en a.
Définition 5.4 — (Matrice hessienne)
La matrice hessienne de f en a est la matrice : H_f(a) = \left(\frac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j}(a)\right)_{1 \leq i, j \leq n}
Si la matrice hessienne H_f(a) n’est ni définie positive ni définie négative, on ne peut pas conclure. Le point a peut être un point selle.
5.4 Méthode d’étude des extremums globaux
Proposition 5.2 — (Méthode d’étude)
Pour étudier les extremums globaux d’une fonction f sur un domaine K :
- Étudier f sur l’intérieur de K : déterminer les points critiques de f sur \mathring{K} et leur nature.
- Étudier f sur le bord de K : restreindre f au bord de K et étudier les extremums de ces restrictions.
- Comparer les valeurs : comparer les valeurs de f aux points critiques intérieurs et sur le bord.
Exemple 5.1
On considère le domaine \Delta = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 \mid -1 \leq x \leq y \leq 1\} et la fonction f définie sur \Delta par f(x, y) = (y - x)^3 + 6xy. Déterminer son maximum et son minimum global.
Étape 1 : Le domaine \Delta est un triangle. La fonction f est de classe \mathcal{C}^1 sur l’intérieur \mathring{\Delta} = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 \mid -1 < x < y < 1\}.
Étape 2 : On calcule : \frac{\partial f}{\partial x}(x, y) = 6y - 3(y - x)^2, \quad \frac{\partial f}{\partial y}(x, y) = 6x + 3(y - x)^2
Étape 3 : On trouve les points critiques intérieurs (x, y) qui doivent vérifier (y-x)^2 = 2y = -2x, d’où y = -x puis y = -x = 1/2. On calcule f(-1/2, 1/2) = -1/2.
Étape 4 : On étudie la restriction de f sur les trois segments qui forment le bord du domaine.
Étape 5 : On compare les valeurs et on conclut.
6 Exercices
Exercice 6.1
Soit f(x, y) = x^2 y + e^{xy}. Calculer \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y} et \nabla f.
Exercice 6.2
Soit f(x, y) = \sqrt{x^2 + y^2}. Montrer que f n’est pas différentiable en (0,0).
Exercice 6.3
Soit f(x, y, z) = x^2 + y^2 - z^2. Déterminer les points critiques de f et leur nature.
Exercice 6.4
Résoudre l’équation aux dérivées partielles : \frac{\partial f}{\partial x} + 2\frac{\partial f}{\partial y} = 0 en utilisant un changement de variable linéaire.
Exercice 6.5
Soit f(x, y) = x^2 y + \sin(xy). Calculer \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} et \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}. Vérifier le théorème de Schwarz.
Exercice 6.6 — (Extremums)
Soit f(x, y) = x^2 + y^2 - 2x - 4y + 5.
- Déterminer les points critiques de f.
- Déterminer la nature de chaque point critique.
- f admet-elle un extremum global ? Si oui, lequel ?
Exercice 6.7 — (Plan tangent)
Soit f(x, y) = x^2 + y^2. Déterminer l’équation du plan tangent au graphe de f au point (1, 1, 2).
Exercice 6.8 — (Équation des ondes)
Résoudre l’équation des ondes \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} - \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = 0 en utilisant le changement de variable u = x + y, v = x - y.