Nombres complexes : calculs algébriques et applications géométriques
Chapitre 02
PCSI (1re année) — Chapitre 02. Forme algébrique, conjugaison, module, arguments, forme trigonométrique, exponentielle complexe, trigonométrie, équations du second degré, racines n-ièmes, interprétation géométrique.
Ce chapitre a été réalisé conformément au programme marocain de mathématiques de la filière PCSI.
1 Nombres complexes : ensemble \mathbb{C} — Conjugué, module et argument d’un nombre complexe
1.1 Ensemble des nombres complexes \mathbb{C}
Définition 1.1
L’ensemble des nombres complexes noté \mathbb{C} est l’ensemble des nombres z de la forme : z=x+iy avec (x,y)\in \mathbb{R}^2 et i^2=-1.
- L’écriture z=x+iy s’appelle écriture algébrique (ou cartésienne) du nombre complexe z.
- Le réel x s’appelle partie réelle du nombre complexe z et elle sera notée \mathcal{R}e(z).
- Le réel y s’appelle partie imaginaire du nombre complexe z et elle sera notée \mathcal{I}m(z).
Définition 1.2
On munit l’ensemble des nombres complexes \mathbb{C} des deux opérations suivantes :
\begin{cases} \forall (z,z')\in \mathbb{C}^2,\ z+z'=\left(\mathcal{R}e(z)+\mathcal{R}e(z')\right)+i\left(\mathcal{I}m(z)+\mathcal{I}m(z')\right)\\ \forall (z,z')\in \mathbb{C}^2,\ z\times z'=\left(\mathcal{R}e(z)\cdot\mathcal{R}e(z')-\mathcal{I}m(z)\cdot\mathcal{I}m(z')\right)+i\left(\mathcal{R}e(z)\cdot\mathcal{I}m(z')+\mathcal{R}e(z')\cdot\mathcal{I}m(z)\right)\end{cases}
Proposition 1.1
Soient (z,z')\in \mathbb{C}^2 et \lambda \in \mathbb{R}. Alors on a :
- z=0 \Longleftrightarrow \mathcal{R}e(z)=0 \text{ et } \mathcal{I}m(z)=0
- z=z' \Longleftrightarrow \mathcal{R}e(z)=\mathcal{R}e(z') \text{ et } \mathcal{I}m(z)=\mathcal{I}m(z')
- \mathcal{R}e(\lambda z)=\lambda \mathcal{R}e(z)\text{ et } \mathcal{R}e(z+z')=\mathcal{R}e(z)+\mathcal{R}e(z')
- \mathcal{I}m(\lambda z)=\lambda \mathcal{I}m(z)\text{ et } \mathcal{I}m(z+z')=\mathcal{I}m(z)+\mathcal{I}m(z')
Remarque. Ce qui justifie l’unicité de l’écriture algébrique d’un nombre complexe et donne sens à la définition précédente.
Exemple 1.1
Cherchons les nombres complexes z tels que : z^2=1+i\sqrt{3}\ \ (\ast)
Posons z=x+iy avec (x,y)\in \mathbb{R}^2. Alors :
\begin{aligned} (\ast) &\Longleftrightarrow (x^2-y^2)+i(2xy)=1+i\sqrt{3}\\ &\Longleftrightarrow x^2-y^2=1 \text{ et } 2xy=\sqrt{3}\\ &\Longleftrightarrow x^2-y^2=1 \text{ et } y=\frac{\sqrt{3}}{2x}\\ &\Longrightarrow 4x^4-4x^2-3=0 \end{aligned}
Résolvons cette équation du second degré d’inconnue x^2 en utilisant le discriminant :
x^2=\frac{3}{2} \Longleftrightarrow x=\pm \sqrt{\frac{3}{2}}
puisque \Delta =64 et l’autre solution est -\frac{1}{2}<0. Donc :
(x,y)\in\left\{\left(\frac{\sqrt{6}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}\right),\left(-\frac{\sqrt{6}}{2},-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\right\}
Inversement, ces valeurs de z vérifient l’équation (\ast) donc l’ensemble des solutions est :
S=\left\{\frac{\sqrt{6}}{2}+i\frac{\sqrt{2}}{2},-\frac{\sqrt{6}}{2}-i\frac{\sqrt{2}}{2}\right\}
Proposition 1.2
L’addition + et la multiplication \times vérifient les propriétés suivantes :
Associativité : \forall (z,z',z'')\in \mathbb{C}^3,\ \begin{cases}z+(z'+z'')=(z+z')+z''\\z\times (z'\times z'')=(z\times z')\times z''\end{cases}
Commutativité : \forall (z,z')\in \mathbb{C}^2,\ \begin{cases}z+z'=z'+z\\z\times z'=z'\times z\end{cases}
Élément neutre : \forall z\in \mathbb{C},\ \begin{cases}z+0=z\ \ (0\text{ est l'élément neutre pour l'addition})\\z\times 1=z\ \ (1\text{ est l'élément neutre pour la multiplication})\end{cases}
Chaque élément z de \mathbb{C} possède un opposé (unique) noté (-z) c’est-à-dire un élément z' vérifiant z+z'=0 et défini par : (-z)=(-\mathcal{R}e(z))+i(-\mathcal{I}m(z))
Chaque élément z de \mathbb{C}^*(=\mathbb{C}\setminus\{0\}) possède un inverse (unique) noté z^{-1} (ou 1/z) c’est-à-dire un élément z' vérifiant z\times z'=1 et défini par : \frac{1}{z}=\frac{x}{x^2+y^2}-i\frac{y}{x^2+y^2} avec z=x+iy.
Distributivité de la multiplication par rapport à l’addition : \forall (z,z',z'')\in \mathbb{C}^3,\ z\times (z'+z'')=z\times z'+ z\times z''
Dans ce cas, on dit que (\mathbb{C},+,\times) est un corps.
1.2 Conjugué d’un nombre complexe
Définition 1.3
Soit z=x+iy\in \mathbb{C}. On appelle conjugué de z l’élément noté \overline{z} et défini par : \overline{z}=x-iy
Proposition 1.3
Soit z\in \mathbb{C}. Alors on a :
- z+\overline{z}=2\mathcal{R}e(z)
- z-\overline{z}=2i\mathcal{I}m(z)
- z=\overline{z}\Longleftrightarrow z\in \mathbb{R}
- z=-\overline{z} \Longleftrightarrow z\in i\mathbb{R}
- \overline{\overline{z}}=z
Proposition 1.4
Soit (z,z')\in \mathbb{C}^2. Alors on a :
- \overline{z+z'}=\overline{z}+\overline{z'}
- \overline{z\times z'}=\overline{z}\times\overline{z'}
- \overline{z-z'}=\overline{z}-\overline{z'}
- \overline{\left(\frac{1}{z}\right)}=\frac{1}{\overline{z}} (avec z\neq 0)
- \forall n\in\mathbb{Z},\ \overline{z^n}=\overline{z}^n (avec z^0=1 et z\neq 0 si n\leq 0)
Remarque. Soit z=x+iy\in \mathbb{C}^*. L’écriture algébrique de l’inverse de z s’obtient en multipliant par le conjugué \overline{z}=x-iy de z comme suit : \frac{1}{z}=\frac{x-iy}{(x+iy)(x-iy)}=\frac{x}{x^2+y^2}-i\frac{y}{x^2+y^2}
Exemple 1.2
Soit z=\left(\frac{1+i}{2-i}\right)^2+\frac{1-7i}{4+3i}. Écrivons z sous forme algébrique :
z=\frac{2i}{3-4i}+\frac{1-7i}{4+3i}=\frac{-2}{4+3i}+\frac{1-7i}{4+3i}=\frac{-1-7i}{4+3i}=-\frac{(1+7i)(4-3i)}{(4+3i)(4-3i)}=-\frac{25+25i}{25}=-1-i
1.3 Module d’un nombre complexe
Définition 1.4
Soit z=x+iy\in \mathbb{C}. On appelle module de z le réel positif noté |z| et défini par : |z|=\sqrt{z\cdot\overline{z}}=\sqrt{x^2+y^2}
Proposition 1.5
Soit (z,z')\in \mathbb{C}^2. Alors on a :
- |z|^2=z\cdot\overline{z}
- |z\times z'|=|z|\times|z'|
- |z|=|\overline{z}|=|-z|
- \left|\frac{1}{z}\right|=\frac{1}{|z|} (avec z\neq 0)
- \left|\frac{z}{z'}\right|=\frac{|z|}{|z'|} (avec z'\neq 0)
- \forall n\in\mathbb{Z},\ |z^n|=|z|^n (avec z\neq 0 si n\leq 0)
Exemple 1.3
Soit z un nombre complexe de module 1 et différent de 1. Montrons que Z=\frac{z+1}{z-1}\in i\mathbb{R} :
Z=\frac{z+1}{z-1}=\frac{(z+1)\overline{(z-1)}}{(z-1)\overline{(z-1)}}=\frac{(z+1)(\overline{z}-1)}{|z-1|^2}=\frac{|z|^2+\overline{z}-z-1}{|z-1|^2}
Or |z|=1 et \overline{z}-z=-2i\mathcal{I}m(z) donc :
Z=\frac{-2i\mathcal{I}m(z)}{|z-1|^2}\in i\mathbb{R}
1.4 Interprétation géométrique
On appelle plan complexe le plan rapporté à un repère orthonormé direct (O,\vec{u},\vec{v}) où chaque nombre complexe z=x+iy est représenté par un point M de coordonnées (x,y).
- Le point M est appelé image du nombre complexe z
- Le nombre complexe z est dit affixe du point M
- On dit aussi que le vecteur \overrightarrow{OM} est d’affixe z et \overrightarrow{OM} est l’image de z
- Le vecteur \overrightarrow{MN} est d’affixe (z'-z)
- Le module |z'-z| représente la distance MN
- Le point M' d’affixe \overline{z} est le symétrique du point M par la symétrie d’axe (O,\vec{u}), donc la transformation z\longmapsto \overline{z} dans le plan complexe est la symétrie axiale d’axe (O,\vec{u}).
Proposition 1.6
Soit A un point du plan complexe d’affixe a et r un réel strictement positif.
L’ensemble des points M(z) vérifiant |z-a|=r est le cercle de centre A(a) et de rayon r : \mathscr{C}(A,r)=\left\{M(z)\ /\ |z-a|=r\right\}
L’ensemble des points M(z) vérifiant |z-a|<r est le disque ouvert de centre A et de rayon r : D(A,r)=\left\{M(z)\ /\ |z-a|<r\right\}
L’ensemble des points M(z) vérifiant |z-a|\leq r est le disque fermé de centre A et de rayon r : \overline{D}(A,r)=\left\{M(z)\ /\ |z-a|\leq r\right\}
Théorème 1.1
Soit (z,z')\in \mathbb{C}^2. Alors on a :
- \left|\mathcal{R}e(z)\right|\leq |z|\ \ \ ;\ \ \ \left|\mathcal{I}m(z)\right|\leq |z|
- Inégalité triangulaire : |z+z'|\leq |z|+|z'| avec égalité si et seulement si z=0 ou z'=\lambda z où \lambda \in \mathbb{R}^+.
Remarque. Ce théorème peut être généralisé à n nombres complexes z_1,\cdots,z_n comme suit : \left|z_1+\cdots +z_n\right|\leq |z_1|+\cdots +|z_n|
Corollaire 1.1
\forall (z,z')\in \mathbb{C}^2,\ \left||z|-|z'|\right|\leq |z-z'|\leq |z|+|z'|
Exercice 1.1
Soient z_1,\cdots,z_n des nombres complexes de modules 1. On pose Z=\left(\sum_{k=1}^nz_k\right)\left(\sum_{k=1}^n\frac{1}{z_k}\right).
Montrer que Z est un réel tel que |Z|\leq n^2.
Solution. Les z_k sont de modules 1, donc \overline{z_k}=\frac{1}{z_k}. Donc :
\overline{Z}=\overline{\left(\sum_{k=1}^nz_k\right)}\overline{\left(\sum_{k=1}^n\frac{1}{z_k}\right)}=\left(\sum_{k=1}^n\overline{z_k}\right)\left(\sum_{k=1}^n\overline{\frac{1}{z_k}}\right)=\left(\sum_{k=1}^n\frac{1}{z_k}\right)\left(\sum_{k=1}^nz_k\right)=Z
Donc Z\in \mathbb{R}.
D’autre part, si on utilise l’inégalité triangulaire alors :
|Z|=\left|\left(\sum_{k=1}^nz_k\right)\left(\sum_{k=1}^n\frac{1}{z_k}\right)\right|=\left|\sum_{k=1}^nz_k\right|\left|\sum_{k=1}^n\frac{1}{z_k}\right| \leq \left(\sum_{k=1}^n|z_k|\right)\left(\sum_{k=1}^n\frac{1}{|z_k|}\right) = \left(\sum_{k=1}^n1\right)\left(\sum_{k=1}^n1\right)=n^2
D’où le résultat.
1.5 Argument d’un nombre complexe non nul
Définition 1.5
Soit z=x+iy\in \mathbb{C}^*. On appelle argument de z toute mesure de l’angle orienté (\vec{u},\overrightarrow{OM}) et on le note \operatorname{Arg}(z).
Si \theta est une mesure de l’angle (\vec{u},\overrightarrow{OM}) alors : \operatorname{Arg}(z)=\theta \ [2\pi]
L’ensemble des arguments de z est \left\{\theta+2k\pi\ /\ k\in \mathbb{Z}\right\}.
Remarque.
- Le nombre complexe nul ne possède pas d’argument.
- On remarque aussi que : x=|z|\cos\theta \ \ ;\ \ y=|z|\sin\theta
Proposition 1.7
Soit z et z' deux nombres complexes non nuls. Alors on a :
- \operatorname{Arg}(\overline{z})=-\operatorname{Arg}(z)\ [2\pi]
- \operatorname{Arg}(-z)=\operatorname{Arg}(z)+\pi\ [2\pi]
- \operatorname{Arg}(z\times z')=\operatorname{Arg}(z)+\operatorname{Arg}(z')\ [2\pi]
- \operatorname{Arg}\left(\frac{1}{z}\right)=-\operatorname{Arg}(z)\ [2\pi]
- \operatorname{Arg}\left(\frac{z}{z'}\right)=\operatorname{Arg}(z)-\operatorname{Arg}(z')\ [2\pi]
- \forall n\in\mathbb{Z},\ \operatorname{Arg}(z^n)=n\operatorname{Arg}(z)\ [2\pi]
Exemple 1.4
Déterminons le module et l’argument du nombre complexe z=\sqrt{2+\sqrt{2}}+i\sqrt{2-\sqrt{2}} :
|z|=\sqrt{\left(\sqrt{2+\sqrt{2}}\right)^2+\left(\sqrt{2-\sqrt{2}}\right)^2}=2
2\operatorname{Arg}(z)=\operatorname{Arg}(z^2)\ [2\pi]=\operatorname{Arg}\left(2\sqrt{2}(1+i)\right)\ [2\pi]=\operatorname{Arg}\left(4\left(\frac{\sqrt{2}}{2}+i\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\right)\ [2\pi]=\frac{\pi}{4}\ [2\pi]
Donc \operatorname{Arg}(z)=\frac{\pi}{8}\ [\pi].
Or \mathcal{R}e(z),\ \mathcal{I}m(z)>0, donc \operatorname{Arg}(z)=\frac{\pi}{8}\ [2\pi].
2 Forme polaire — Racines n-ièmes — Équation du second degré — Réduction de a\cos x+b\sin x
2.1 Nombres complexes de module 1
On introduit les deux symboles \sum et \prod de somme et de produit comme suit :
\sum_{k=1}^nz_k=z_1+z_2+\cdots +z_n \ \ \ \text{(somme)} \prod_{k=1}^nz_k=z_1\times z_2\times \cdots \times z_n \ \ \ \text{(produit)}
Définition 2.1
Les nombres complexes de module 1 sont les affixes des points du cercle unité \mathscr{C}(O,1). Ils sont les nombres complexes z de la forme : z=\cos\theta+i\sin\theta avec \theta \in \mathbb{R}.
Si on note \mathbb{U} l’ensemble des nombres complexes de module 1 et on pose e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta alors :
\mathbb{U}=\left\{e^{i\theta}\ /\ \theta \in \mathbb{R}\right\}=\left\{e^{i\theta}\ /\ \theta \in [-\pi,\pi[\right\}
Proposition 2.1
Soit (\theta,\theta')\in \mathbb{R}^2. Alors on a :
- e^{i(\theta+\theta')}=e^{i\theta}\times e^{i\theta'}
- e^{i(\theta-\theta')}=\frac{e^{i\theta}}{e^{i\theta'}}
- \overline{e^{i\theta}}=e^{-i\theta}=\frac{1}{e^{i\theta}}
- |e^{i\theta}|=1
Proposition 2.2
Soit (\theta,\theta')\in \mathbb{R}^2. Alors on a :
Formule de Moivre : \forall n\in \mathbb{Z},\ \left(e^{i\theta}\right)^n=e^{in\theta} \Longleftrightarrow \forall n\in \mathbb{Z},\ \left(\cos\theta+i\sin\theta\right)^n=\cos n\theta+i\sin n\theta
Formules d’Euler : \cos\theta = \frac{1}{2}\left(e^{i\theta}+e^{-i\theta}\right) \ \ ;\ \ \sin\theta = \frac{1}{2i}\left(e^{i\theta}-e^{-i\theta}\right)
Formules de l’arc moitié : e^{i\theta}+e^{i\theta'}=2\cos\left(\frac{\theta-\theta'}{2}\right)e^{i\frac{\theta+\theta'}{2}} e^{i\theta}-e^{i\theta'}=2i\sin\left(\frac{\theta-\theta'}{2}\right)e^{i\frac{\theta+\theta'}{2}}
En particulier lorsque \theta'=0\ [2\pi] : e^{i\theta}+1=2\cos\left(\frac{\theta}{2}\right)e^{i\frac{\theta}{2}} \ \ ;\ \ e^{i\theta}-1=2i\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)e^{i\frac{\theta}{2}}
Définition 2.2 — (Coefficients binomiaux)
Soit (n,p)\in \mathbb{N}^2 tel que 0\leq p\leq n. On définit n factorielle n! et le coefficient binomial C_n^p par : n!=1\times 2\times \cdots \times n =\prod_{k=1}^nk \ \ ;\ \ C_n^p=\frac{n!}{p!(n-p)!}
Proposition 2.3
C_n^{p}+C_n^{p+1}=C_{n+1}^{p+1}\ \ (p\leq n-1)\ \ ;\ \ C_n^p=\frac{p+1}{n+1}C_{n+1}^{p+1}
Proposition 2.4 — (Formule du binôme de Newton)
Soit (a,b)\in \mathbb{C}^2 et n\in \mathbb{N}. Alors on a : (a+b)^n=\sum_{p=0}^nC_n^pa^pb^{n-p}
Exercice 2.1
- Écrire \cos 4x en fonction de \cos x
- Linéariser \cos x\sin^3 x c’est-à-dire l’écrire en fonction des \cos ax et \sin bx
Solution.
- Écrivons \cos 4x en fonction de \cos x :
\begin{aligned} \cos 4x&=\mathcal{R}e\left(\left(e^{ix}\right)^4\right)\\ &=\mathcal{R}e\left((\cos x+i\sin x)^4\right)\\ &=\mathcal{R}e\left(\cos^4 x+i4\cos^3 x\sin x-6\cos^2 x\sin^2 x-i4\cos x\sin^3 x+\sin^4 x\right)\\ &= \cos^4 x-6\cos^2 x\sin^2 x+\sin^4 x\\ &= \cos^4 x-6\cos^2 x(1-\cos^2 x)+(1-\cos^2 x)^2\\ &= 8\cos^4 x-8\cos^2 x+1 \end{aligned}
- Linéarisons \cos x\sin^3 x :
\begin{aligned} \cos x\sin^3 x&=\frac{1}{2}\left(e^{ix}+e^{-ix}\right)\left(\frac{1}{2i}\left(e^{ix}-e^{-ix}\right)\right)^3\\ &= \frac{-1}{2^4i}\left(e^{i2x}-e^{-i2x}\right)\left(e^{ix}-e^{-ix}\right)^2\\ &= \frac{-1}{2^4i}\left(e^{i2x}-e^{-i2x}\right)\left(e^{i2x}-2+e^{-i2x}\right)\\ &= \frac{-1}{2^4i}\left(e^{i4x}-e^{-i4x}\right)+\frac{1}{2^3i}\left(e^{i2x}-e^{-i2x}\right)\\ &= \frac{-1}{8}\sin 4x +\frac{1}{4}\sin 2x \end{aligned}
2.2 Forme polaire d’un nombre complexe non nul
Définition 2.3
Soit z\in \mathbb{C}^*. On appelle forme polaire (ou exponentielle) de z une écriture de la forme : z=\rho e^{i\theta} avec (\rho,\theta)\in \mathbb{R}^+_*\times [-\pi,\pi[.
Théorème 2.1
\forall z\in \mathbb{C}^*,\ \exists !(\rho,\theta)\in \mathbb{R}^+_*\times [-\pi,\pi[,\ z=\rho e^{i\theta}
Remarque. Le théorème précédent est encore vrai si on remplace l’intervalle [-\pi,\pi[ par n’importe quel intervalle semi-ouvert d’amplitude 2\pi, par exemple l’un des intervalles suivants : [0,2\pi[,\ [\pi,3\pi[,\ ]-2\pi,0],\ [-3\pi,-\pi[, \cdots \ \text{etc.}
Proposition 2.5
Soit (z,z')\in (\mathbb{C}^*)^2. Alors on a :
- z=z' \Longleftrightarrow |z|=|z'| \text{ et } \operatorname{Arg}(z)=\operatorname{Arg}(z')\ [2\pi]
- \overline{z}=|z|e^{-i\operatorname{Arg}(z)}
- -z=|z|e^{i(-\operatorname{Arg}(z)+\pi)}
- z\times z'=|z||z'|e^{i(\operatorname{Arg}(z)+\operatorname{Arg}(z'))}
- \frac{z}{z'}=\frac{|z|}{|z'|}e^{i(\operatorname{Arg}(z)-\operatorname{Arg}(z'))}
- \forall n\in \mathbb{Z},\ z^n=|z|^ne^{in\operatorname{Arg}(z)}
2.3 Racines n-ièmes de l’unité
Dans ce paragraphe n désigne un entier naturel non nul et k un entier. Il s’agit de résoudre l’équation d’inconnue z\in \mathbb{C} suivante : z^n=1
On note \mathbb{U}_n l’ensemble des solutions de cette équation. Les éléments de \mathbb{U}_n s’appellent aussi racines n-ièmes de l’unité.
Théorème 2.2
\mathbb{U}_n=\left\{e^{i\frac{2k\pi}{n}}\ /\ 0\leq k\leq n-1\right\}
Exemple 2.1
L’ensemble des solutions de l’équation z^3=1 est : \mathbb{U}_3=\left\{1,\ j=e^{i\frac{2\pi}{3}}=-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2},\ \overline{j}=j^2=e^{i\frac{4\pi}{3}}=-\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2}\right\}
Exemple 2.2
L’ensemble des solutions de l’équation z^4=1 est : \mathbb{U}_4=\left\{1,\ i,\ -i,\ -1\right\}
Remarque.
- La somme des racines n-ièmes de l’unité vaut 0.
- Les racines n-ièmes de l’unité forment un polygone régulier à n côtés.
2.4 Racines n-ièmes d’un nombre complexe
Dans ce paragraphe n désigne un entier naturel non nul, k un entier et a\in \mathbb{C}. Il s’agit de résoudre l’équation d’inconnue z\in \mathbb{C} suivante : z^n=a
Théorème 2.3
S=\begin{cases}\{0\}, \text{ si } a=0\\ \left\{\sqrt[n]{|a|}e^{i\frac{2k\pi+\operatorname{Arg}(a)}{n}}\ /\ 0\leq k\leq n-1\right\}, \text{ sinon}\end{cases}
2.5 Équation du second degré
Dans ce paragraphe a, b et c désignent des nombres complexes avec a\neq 0. Il s’agit de résoudre l’équation d’inconnue z\in \mathbb{C} suivante : az^2+bz+c=0
On note \Delta =b^2-4ac et \delta une racine carrée de \Delta (c’est-à-dire \delta^2=\Delta).
Théorème 2.4
S=\left\{\frac{-b+\delta}{2a},\ \frac{-b-\delta}{2a}\right\}
Exemple 2.3
Soit l’équation d’inconnue z\in \mathbb{C} suivante : z^2-(5-14i)z-2(5i+12)=0
On a \Delta =(5-14i)^2+4\times 2(5i+12)=-25(3+4i)=\left(5i(2+i)\right)^2, donc l’ensemble des solutions est : S=\left\{\frac{5-14i-5+10i}{2}=-2i,\ \frac{5-14i+5-10i}{2}=5-12i\right\}
Proposition 2.6
L’équation az^2+bz+c=0 d’inconnue z\in \mathbb{C} est équivalente au système d’inconnues (z_1,z_2)\in \mathbb{C}^2 suivant : \begin{cases}z_1+z_2=\frac{-b}{a}\\ z_1z_2=\frac{c}{a}\end{cases}
2.6 Réduction de a\cos x+b\sin x
Dans ce paragraphe, a, b et x désignent des réels tels que (a,b)\neq (0,0).
Remarque. Le nombre complexe a+ib est non nul, il existe alors (\rho,\theta)\in \mathbb{R}^+_*\times [0,2\pi[ tel que a+ib=\rho e^{i\theta} avec \rho =\sqrt{a^2+b^2}. On aura alors :
(a\cos x+b\sin x)+i(-a\sin x+b\cos x)=\rho e^{i\theta}e^{-ix}=\rho e^{i(\theta -x)}
Par suite : a\cos x+b\sin x=\mathcal{R}e\left(\rho e^{i(\theta -x)}\right)=\rho\cos\left(\theta -x\right)
Exemple 2.4
Résolvons l’équation d’inconnue x suivante : (E) \ \ \ \cos x +\sin x =1
On a \cos x +\sin x =\sqrt{2}\cos\left(\frac{\pi}{4}-x\right). Donc :
(E) \Longleftrightarrow \sqrt{2}\cos\left(\frac{\pi}{4}-x\right) = 1 \Longleftrightarrow \cos\left(\frac{\pi}{4}-x\right) =\frac{\sqrt{2}}{2}=\cos\left(\frac{\pi}{4}\right)
\Longleftrightarrow \frac{\pi}{4}-x =\frac{\pi}{4}\ [2\pi] \text{ ou } \frac{\pi}{4}-x=-\frac{\pi}{4}\ [2\pi]
\Longleftrightarrow x =0\ [2\pi] \text{ ou } x=\frac{\pi}{2}\ [2\pi]
D’où l’ensemble des solutions est : S=\left\{2k\pi,\ \frac{\pi}{2}+2k\pi\ /\ k\in \mathbb{Z} \right\}
2.7 Calcul des sommes \sum_{k=0}^n\cos(ak+b) et \sum_{k=0}^n\sin(ak+b)
Proposition 2.7
Soit z\in \mathbb{C}. Alors on a : \sum_{k=0}^nz^k=\begin{cases}n+1,\text{ si } z=1\\\frac{1-z^{n+1}}{1-z},\text{ sinon}\end{cases}
Remarque. On remarque que : \sum_{k=0}^n\cos(ak+b)=\mathcal{R}e\left(\sum_{k=0}^n e^{i(ak+b)}\right) \ \text{ et } \ \sum_{k=0}^n\sin(ak+b)=\mathcal{I}m\left(\sum_{k=0}^n e^{i(ak+b)}\right)
Donc il suffit de calculer la somme \sum_{k=0}^n e^{i(ak+b)}. On obtient :
\sum_{k=0}^n\cos(ak+b)=\begin{cases}(n+1)\cos b,\text{ si } a=0\ [2\pi]\\\frac{\sin\left(\frac{a(n+1)}{2}\right)}{\sin\left(\frac{a}{2}\right)}\cos\left(\frac{an}{2}+b\right), \text{ sinon}\end{cases}
\sum_{k=0}^n\sin(ak+b)=\begin{cases}(n+1)\sin b,\text{ si } a=0\ [2\pi]\\\frac{\sin\left(\frac{a(n+1)}{2}\right)}{\sin\left(\frac{a}{2}\right)}\sin\left(\frac{an}{2}+b\right), \text{ sinon}\end{cases}
2.8 Exponentielle complexe
Définition 2.4
Soit z=x+iy\in \mathbb{C}. On appelle exponentielle de z le nombre complexe noté e^z et défini par : e^z=e^xe^{iy}
Remarque. L’exponentielle d’un nombre complexe n’est jamais nulle.
Proposition 2.8
Si z_1,\cdots, z_n sont des nombres complexes alors : \prod_{k=1}^ne^{z_k}=e^{\sum_{k=1}^nz_k}
Si (z,z')\in \mathbb{C}^2 alors : e^{z}=e^{z'} \Longleftrightarrow \exists k\in \mathbb{Z},\ z'=z+i2k\pi
Remarque. Soit a\in \mathbb{C}. Il s’agit de résoudre l’équation d’inconnue z\in \mathbb{C} suivante : e^z=a.
- Si a=0 alors l’équation n’admet pas de solutions : S=\emptyset.
- Sinon, a possède une écriture polaire : \exists ! (r,\alpha)\in \mathbb{R}^*_+\times [-\pi,\pi[,\ a=re^{i\alpha} et l’ensemble des solutions est : S=\left\{\ln r+i(\alpha +2k\pi)\ /\ k\in \mathbb{Z}\right\}
Exemple 2.5
L’ensemble des solutions de l’équation e^z=1+i=\sqrt{2}e^{i\frac{\pi}{4}} est : S=\left\{\frac{1}{2}\ln 2+i\left(\frac{\pi}{4}+2k\pi\right)\ /\ k\in \mathbb{Z}\right\}
3 Géométrie
3.1 Caractérisation de l’alignement, l’orthogonalité et la cocyclicité
Proposition 3.1
Soit A, B et M trois points distincts du plan complexe d’affixes respectifs a, b et z. Alors on a :
(\overrightarrow{MA},\overrightarrow{MB})=\operatorname{Arg}\left(\frac{b-z}{a-z}\right)\ [2\pi] \ \ ;\ \ \frac{MB}{MA}=\left|\frac{b-z}{a-z}\right|
Corollaire 3.1
Soit A, B, C et D des points distincts deux à deux du plan complexe d’affixes respectifs a, b, c et d. Alors on a :
- A, B et C sont alignés \Longleftrightarrow \frac{c-a}{b-a}\in \mathbb{R}
- (AB)\perp (AC) \Longleftrightarrow \frac{c-a}{b-a}\in i\mathbb{R}
- ABC est un triangle isocèle droit en A \Longleftrightarrow \frac{c-a}{b-a}=\pm i
- ABC est un triangle équilatéral \Longleftrightarrow \frac{c-a}{b-a}=e^{\pm i\frac{\pi}{3}}
- A, B, C et D sont cocycliques ou alignés \Longleftrightarrow \frac{c-a}{d-a}\div \frac{c-b}{d-b}\in \mathbb{R}
3.2 Transformations géométriques usuelles
Définition 3.1 — (Translation)
Soit \vec{u}(u) un vecteur du plan complexe. On appelle translation, de vecteur \vec{u}, notée t_{\vec{u}}, la transformation du plan qui transforme chaque point M(z) du plan complexe au point M'(z') tel que : \overrightarrow{MM'}=\vec{u} \Longleftrightarrow z'-z=u
Définition 3.2 — (Rotation)
On appelle rotation de centre \Omega(\omega) et d’angle \theta, notée r_{(\Omega,\theta)}, la transformation du plan qui transforme chaque point M(z) au point M'(z') tel que : \begin{cases}\Omega M'=\Omega M\\ \left(\overrightarrow{\Omega M},\overrightarrow{\Omega M'}\right)=\theta \ [2\pi]\end{cases} \Longleftrightarrow z'=e^{i\theta}(z-\omega)+\omega
Cas particulier : Si \theta =\pi \ [2\pi] alors r_{(\Omega,\theta)} est la symétrie centrale de centre \Omega.
Définition 3.3 — (Homothétie)
On appelle homothétie de centre \Omega(\omega) et de rapport \lambda\in \mathbb{R}, notée h_{(\Omega,\lambda)}, la transformation du plan qui transforme chaque point M(z) au point M'(z') tel que : \overrightarrow{\Omega M'}=\lambda \overrightarrow{\Omega M} \Longleftrightarrow z'=\lambda (z-\omega)+\omega
Cas particulier : Si \lambda =-1 alors h_{(\Omega,\lambda)} est la symétrie centrale de centre \Omega.
Définition 3.4 — (Similitude directe)
On appelle similitude directe de centre \Omega, d’angle \theta et de rapport \rho>0, la composée s de la rotation r de centre \Omega et d’angle \theta et de l’homothétie h de centre \Omega et de rapport \rho. De plus, r et h commutent : s = h\circ r = r\circ h
Si on pose a=\rho e^{i\theta} et si M(z) un point du plan complexe alors son image M'(z') par s est telle que : \begin{cases}\Omega M'=\rho\Omega M\\ \left(\overrightarrow{\Omega M},\overrightarrow{\Omega M'}\right)=\theta \ [2\pi]\end{cases} \Longleftrightarrow z'=a(z-\omega)+\omega
Cas particuliers :
- Si \rho =1 alors s est la rotation de centre \Omega(\omega) et d’angle \theta.
- Si \theta = 0\ [\pi] alors s est l’homothétie de centre \Omega(\omega) et de rapport a.
Exercice 3.1
Soit r_1 la rotation de centre A d’affixe -1 et d’angle \frac{\pi}{3} et r_2 la rotation de centre B d’affixe j=e^{i\frac{2\pi}{3}} et d’angle \frac{2\pi}{3}. Déterminer la nature de r_2\circ r_1.
Solution. Soit M un point du plan complexe d’affixe z et soit M' d’affixe z' l’image de M par la transformation r_2\circ r_1. z' vérifie alors :
\begin{aligned} z'=r_2\circ r_1(z)&=r_2\left(e^{i\frac{\pi}{3}}(z+1)-1\right)=j\left(e^{i\frac{\pi}{3}}(z+1)-1-j\right)+j\\ &=-(z+1)-j-j^2+j=-z-\underbrace{(1+j+j^2)}_{=0}+j\\ &\Longleftrightarrow z'-\frac{j}{2}=-\left(z-\frac{j}{2}\right) \end{aligned}
C’est-à-dire M' est l’image de M par la rotation de centre C d’affixe \frac{j}{2} et d’angle \pi. D’où r_2\circ r_1 est la symétrie centrale de centre C d’affixe \frac{j}{2}.
3.3 Classification des transformations f: z\longmapsto az+b
Dans ce paragraphe, a et b désignent deux nombres complexes. Il s’agit de déterminer la nature de la transformation f: z\longmapsto az+b dans le plan complexe.
Remarque.
- Si a=0 alors f est la transformation fixe qui transforme chaque point du plan au point B(b).
- Si a\neq 0 alors on a deux cas à distinguer :
- Si a=1 alors f est la translation t_{\vec{u}} de vecteur \vec{u}=\overrightarrow{OB}.
- Si a\neq 1 alors f est la similitude directe de centre \Omega(\omega) avec \omega=\frac{b}{1-a}, de rapport |a| et d’angle \operatorname{Arg}(a). Si M(z) un point du plan complexe et M'(z') son image par f alors : \boxed{z'=a(z-\omega)+\omega}
- Si |a|=1 alors f est la rotation de centre \Omega(\omega) et d’angle \operatorname{Arg}(a).
- Si \operatorname{Arg}(a)=0\ [\pi] alors f est l’homothétie de centre \Omega(\omega) et de rapport a.
Exemple 3.1
La transformation z\longmapsto z+i est la translation de vecteur d’affixe i puisque z'=z+i \Longleftrightarrow z'-z=i.
Exemple 3.2
La transformation z\longmapsto iz+2 est la rotation de centre \Omega d’affixe 1+i et d’angle \frac{\pi}{2} puisque z'=iz+2 \Longleftrightarrow z'=i\left(z-(1+i)\right)+(1+i).
Exemple 3.3
La transformation z\longmapsto 2z+2 est l’homothétie de centre \Omega d’affixe -2 et de rapport 2 puisque z'=2z+2 \Longleftrightarrow z'=2\left(z+2\right)-2.
Exemple 3.4
La transformation z\longmapsto -z+2 est la symétrie centrale de centre \Omega d’affixe 1 puisque z'=-z+2 \Longleftrightarrow z'=-\left(z-1\right)+1.
Exercice 3.2
Soit f la transformation du plan complexe qui à chaque point M d’affixe z associe le point M' d’affixe : z'=(-1+i\sqrt{3})z-i\sqrt{3}
- Montrer que f est une similitude directe dont on déterminera le centre, l’angle et le rapport.
- Montrer que f est la composée d’une homothétie de centre O dont on déterminera le rapport et d’une rotation, dont on déterminera le centre et l’angle.