Chapitre 01

Auteur·rice

Saîd MAHARI

Date de publication

22 août 2026

MP (2e année) — Chapitre 01. Groupes, anneaux et corps, anneau \mathbb{K}[X], \mathbb{K}-algèbres.

Ce chapitre a été réalisé conformément au programme marocain de mathématiques de la filière MP.

Dans tout ce chapitre, \mathbb{K} désigne \mathbb{R} ou \mathbb{C} sauf mention explicite.

1 Groupes

1.1 Structure de groupe

Définition 1.1 — (Loi de composition interne)

Soit A un ensemble non vide. Une loi de composition interne sur A est une application : \star : A \times A \to A On note x \star y l’image de (x, y) par \star.

Définition 1.2 — (Structure de groupe)

Soit A un ensemble non vide muni d’une loi de composition interne \star. On dit que (A, \star) est un groupe si :

  1. La loi \star est associative : \forall x, y, z \in A, \quad (x \star y) \star z = x \star (y \star z)
  2. Il existe un élément neutre e \in A : \forall x \in A, \quad x \star e = e \star x = x
  3. Tout élément de A est symétrisable : \forall x \in A, \; \exists x' \in A, \quad x \star x' = x' \star x = e

Si, de plus, la loi \star est commutative, on dit que (A, \star) est un groupe abélien (ou commutatif).

Proposition 1.1

Dans un groupe (A, \star) :

  1. L’élément neutre est unique.
  2. Le symétrique de chaque élément est unique.
  3. Pour tous a, b \in A, les équations a \star x = b et y \star a = b admettent chacune une unique solution.

Exemple 1.1

  1. (\mathbb{Z}, +), (\mathbb{Q}, +), (\mathbb{R}, +), (\mathbb{C}, +) sont des groupes abéliens.
  2. (\mathbb{Q}^*, \times), (\mathbb{R}^*, \times), (\mathbb{C}^*, \times) sont des groupes abéliens.
  3. (\mathbb{N}, +) n’est pas un groupe (les éléments non nuls n’ont pas de symétrique).
  4. (\mathcal{S}_n, \circ) est un groupe non abélien pour n \geq 3.
  5. (\mathrm{GL}_n(\mathbb{K}), \times) est un groupe non abélien pour n \geq 2.

1.2 Sous-groupes

Définition 1.3 — (Sous-groupe)

Soit (A, \star) un groupe et B une partie non vide de A. On dit que (B, \star) est un sous-groupe de (A, \star) si (B, \star) est un groupe.

Proposition 1.2 — (Caractérisation d’un sous-groupe)

Soient (A, \star) un groupe et B une partie non vide de A. Alors (B, \star) est un sous-groupe de (A, \star) si et seulement si :

  1. e \in B
  2. \forall x, y \in B, \quad x \star y \in B (stabilité par la loi)
  3. \forall x \in B, \quad x^{-1} \in B (stabilité par l’opération de passage à l’inverse)

Exemple 1.2

  1. (\mathbb{Z}, +) est un sous-groupe de (\mathbb{R}, +).
  2. (\mathbb{R}^*, \times) est un sous-groupe de (\mathbb{C}^*, \times).
  3. (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}, +) est un sous-groupe de (\mathbb{Q}/\mathbb{Z}, +).
  4. L’ensemble \mathbb{U}_n = \{z \in \mathbb{C} \mid z^n = 1\} est un sous-groupe de (\mathbb{C}^*, \times).

1.3 Morphismes de groupes

Définition 1.4 — (Morphisme de groupes)

Soient (A, \star) et (A', \star') deux groupes. Une application f : A \to A' est un morphisme de groupes si : \forall x, y \in A, \quad f(x \star y) = f(x) \star' f(y) Un morphisme bijectif est appelé isomorphisme de groupes.

Proposition 1.3 — (Propriétés des morphismes)

Soit f : (A, \star) \to (A', \star') un morphisme de groupes. Alors :

  1. f(e) = e'
  2. \forall x \in A, \quad f(x^{-1}) = (f(x))^{-1}
  3. \mathrm{Ker}(f) = \{x \in A \mid f(x) = e'\} est un sous-groupe de A.
  4. \mathrm{Im}(f) = f(A) est un sous-groupe de A'.

Proposition 1.4 — (Théorème d’isomorphisme)

Soit f : (A, \star) \to (A', \star') un morphisme de groupes. Alors : (A / \mathrm{Ker}(f), \star) \cong (\mathrm{Im}(f), \star')

1.4 Groupes cycliques

Définition 1.5 — (Groupe monogène et cyclique)

Soit (A, \star) un groupe.

  • A est monogène s’il existe a \in A tel que A = \{a^k \mid k \in \mathbb{Z}\}.
  • A est cyclique s’il est monogène et fini.

Exemple 1.3

  1. (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}, +) est un groupe fini abélien cyclique.
  2. (\mathbb{Z}, +) est un groupe monogène.
  3. L’ensemble \mathbb{U}_n = \{e^{i\frac{2k\pi}{n}} \mid 0 \leq k \leq n-1\} des racines n-ièmes de l’unité est un groupe cyclique.

Théorème 1.1 — (Sous-groupes de \boldsymbol{\mathbb{Z}})

Les sous-groupes de (\mathbb{Z}, +) sont exactement les n\mathbb{Z} pour n \in \mathbb{N}.

Théorème 1.2 — (Ordre d’un élément)

Soit (A, \star) un groupe d’ordre fini n \in \mathbb{N}^*. Alors tout élément x \in A est d’ordre fini et on a : o(x) \mid n

Exemple 1.4

  1. \overline{k} est un générateur de \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} si et seulement si k \wedge n = 1.
  2. 1 et -1 sont les seuls générateurs de (\mathbb{Z}, +).
  3. \omega_k = e^{i\frac{2k\pi}{n}} est un générateur de \mathbb{U}_n si et seulement si k \wedge n = 1.

1.5 Groupe symétrique

Définition 1.6 — (Permutation et groupe symétrique)

Une permutation de \{1, 2, \ldots, n\} est une bijection de \{1, 2, \ldots, n\} dans lui-même. L’ensemble des permutations de \{1, 2, \ldots, n\}, muni de la composition, est un groupe noté \mathcal{S}_n et appelé groupe symétrique d’ordre n.

Proposition 1.5

\mathrm{Card}(\mathcal{S}_n) = n!

Définition 1.7 — (Transposition)

Une transposition est une permutation qui échange deux éléments et laisse les autres fixes.

Proposition 1.6

L’ensemble des transpositions est une partie génératrice de \mathcal{S}_n.

Définition 1.8 — (Signature d’une permutation)

La signature d’une permutation \sigma \in \mathcal{S}_n est le nombre : \varepsilon(\sigma) = (-1)^{N(\sigma)} où N(\sigma) est le nombre d’inversions de \sigma (couples (i,j) tels que i < j et \sigma(i) > \sigma(j)).

Proposition 1.7 — (Propriétés de la signature)

  1. \varepsilon(\sigma \circ \tau) = \varepsilon(\sigma) \cdot \varepsilon(\tau)
  2. Une permutation est paire (resp. impaire) si \varepsilon(\sigma) = 1 (resp. \varepsilon(\sigma) = -1).
  3. Toute transposition est impaire.

Définition 1.9 — (Groupe alterné)

Le groupe alterné \mathcal{A}_n est le sous-groupe de \mathcal{S}_n formé des permutations paires : \mathcal{A}_n = \{\sigma \in \mathcal{S}_n \mid \varepsilon(\sigma) = 1\}

Proposition 1.8

\mathrm{Card}(\mathcal{A}_n) = \frac{n!}{2}

2 Anneaux et corps

2.1 Structure d’anneau

Définition 2.1 — (Structure d’anneau)

Soit A un ensemble non vide muni de deux lois de composition interne notées + et \cdot. On dit que (A, +, \cdot) est un anneau si :

  1. (A, +) est un groupe abélien d’élément neutre noté 0_A.
  2. La loi \cdot est associative et possède un élément neutre noté 1_A.
  3. La loi \cdot est distributive par rapport à + : \forall x, y, z \in A, \quad x \cdot (y + z) = x \cdot y + x \cdot z \quad \text{et} \quad (y + z) \cdot x = y \cdot x + z \cdot x

Si la loi \cdot est commutative, on parle d’anneau commutatif.

Exemple 2.1

  1. (\mathbb{Z}, +, \times) est un anneau commutatif.
  2. (\mathbb{Q}, +, \times), (\mathbb{R}, +, \times), (\mathbb{C}, +, \times) sont des anneaux commutatifs.
  3. (\mathcal{M}_n(\mathbb{K}), +, \times) est un anneau non commutatif pour n \geq 2.
  4. (\mathbb{K}[X], +, \times) est un anneau commutatif.

Définition 2.2 — (Sous-anneau)

Soit (A, +, \cdot) un anneau et B une partie non vide de A. On dit que (B, +, \cdot) est un sous-anneau de (A, +, \cdot) si :

  1. 1_A \in B
  2. \forall x, y \in B, \quad x - y \in B (sous-groupe additif)
  3. \forall x, y \in B, \quad x \cdot y \in B (stabilité par la multiplication)

Exemple 2.2

\mathbb{Z} est le seul sous-anneau de \mathbb{Z}.

2.2 Morphismes d’anneaux

Définition 2.3 — (Morphisme d’anneaux)

Soient (A, +, \cdot) et (A', +, \cdot) deux anneaux. Une application f : A \to A' est un morphisme d’anneaux si :

  1. \forall x, y \in A, \quad f(x + y) = f(x) + f(y)
  2. \forall x, y \in A, \quad f(x \cdot y) = f(x) \cdot f(y)
  3. f(1_A) = 1_{A'}

Un morphisme bijectif est appelé isomorphisme d’anneaux.

2.3 Anneau intègre

Définition 2.4 — (Anneau intègre)

On dit qu’un anneau commutatif (A, +, \cdot) est intègre si : \forall x, y \in A, \quad x \cdot y = 0_A \implies x = 0_A \text{ ou } y = 0_A

Exemple 2.3

  1. Les anneaux (\mathbb{Z}, +, \times), (\mathbb{Q}, +, \times), (\mathbb{R}, +, \times), (\mathbb{C}, +, \times) sont intègres.
  2. L’anneau (\mathcal{M}_n(\mathbb{K}), +, \times) n’est pas intègre pour $n (il possède des diviseurs de zéro).

2.4 Corps

Définition 2.5 — (Corps)

Un corps est un anneau commutatif (A, +, \cdot) où tout élément non nul est inversible pour la multiplication.

Définition 2.6 — (Sous-corps)

Soit (A, +, \cdot) un corps et B une partie non vide de A. On dit que (B, +, \cdot) est un sous-corps de (A, +, \cdot) si (B, +, \cdot) est un corps.

Exemple 2.4

  1. (\mathbb{Q}, +, \times), (\mathbb{R}, +, \times), (\mathbb{C}, +, \times) sont des corps.
  2. (\mathbb{Q}, +, \times) est un sous-corps de (\mathbb{R}, +, \times) et de (\mathbb{C}, +, \times).
  3. \mathbb{Q} est le plus petit sous-corps de \mathbb{C}.
  4. L’ensemble \mathbb{Q}[i] = \{a + ib \mid (a,b) \in \mathbb{Q}^2\} est un sous-corps de \mathbb{C}.

Proposition 2.1

Un corps est un anneau intègre.

2.5 Idéaux d’un anneau commutatif

Définition 2.7 — (Idéal d’un anneau commutatif)

Soit (A, +, \cdot) un anneau commutatif et I une partie non vide de A. On dit que I est un idéal de A si :

  1. I est un sous-groupe de (A, +).
  2. \forall a \in A, \; \forall x \in I, \quad a \cdot x \in I.

Proposition 2.2

Soient (A_1, +, \cdot) et (A_2, +, \cdot) deux anneaux commutatifs et f : A_1 \to A_2 un morphisme d’anneaux. Alors \mathrm{Ker}(f) est un idéal de A_1.

Définition 2.8 — (Divisibilité dans un anneau)

Soit (A, +, \cdot) un anneau commutatif intègre et (a, b) \in A^2 avec a \neq 0_A. On dit que a divise b dans A, noté a \mid b, s’il existe k \in A tel que b = a \cdot k.

Proposition 2.3 — (Interprétation de la divisibilité)

Soit (A, +, \cdot) un anneau commutatif intègre et (a, b) \in A^2.

  1. Si a \neq 0_A, alors a \mid b \iff b \cdot A \subset a \cdot A.
  2. Si A est de plus principal (anneau commutatif intègre dont tous les idéaux s’écrivent sous la forme x \cdot A), alors : d = a \wedge b \iff a \cdot A + b \cdot A = d \cdot A m = a \vee b \iff a \cdot A \cap b \cdot A = m \cdot A

2.6 L’anneau \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}

Définition 2.9 — (Anneau quotient)

Soit n \in \mathbb{N}^*. L’ensemble \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} des classes de congruence modulo n, muni de l’addition et de la multiplication définies par : \overline{x} + \overline{y} = \overline{x + y}, \quad \overline{x} \cdot \overline{y} = \overline{x \cdot y} est un anneau commutatif.

Proposition 2.4 — (Caractérisation des inversibles)

\overline{k} est inversible dans \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} si et seulement si k \wedge n = 1.

Corollaire 2.1

(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}, +, \cdot) est un corps si et seulement si n est un nombre premier.

Théorème 2.1 — (Théorème de Bézout)

Soient a, b \in \mathbb{Z}. Alors il existe u, v \in \mathbb{Z} tels que : au + bv = a \wedge b

Théorème 2.2 — (Théorème d’Euler)

Soit n \in \mathbb{Z}^* et k \in \{1, \ldots, n-1\} avec k \wedge n = 1. Alors : k^{\varphi(n)} \equiv 1 \pmod{n} où \varphi(n) est l’indicatrice d’Euler (nombre d’entiers de \{1, \ldots, n\} premiers avec n).

Corollaire 2.2 — (Petit théorème de Fermat)

Soit p un nombre premier. Alors pour tout k \in \{1, \ldots, p-1\} : k^{p-1} \equiv 1 \pmod{p}

3 L’anneau \mathbb{K}[X]

3.1 Structure de \mathbb{K}-algèbre

Définition 3.1 — (\boldsymbol{\mathbb{K}}-algèbre)

On appelle \mathbb{K}-algèbre tout ensemble A non vide muni de trois lois +, \times, \cdot et vérifiant :

  1. (A, +, \cdot) est un \mathbb{K}-espace vectoriel
  2. (A, +, \times) est un anneau
  3. \forall \lambda \in \mathbb{K}, \; \forall x, y \in A, \quad \lambda \cdot (x \times y) = (\lambda \cdot x) \times y = x \times (\lambda \cdot y)

On dit qu’une \mathbb{K}-algèbre (A, +, \times, \cdot) est commutative si la loi \times est commutative.

Exemple 3.1

  1. (\mathbb{K}[X], +, \times, \cdot) est une \mathbb{K}-algèbre commutative.
  2. Soit E un \mathbb{K}-espace vectoriel. (\mathcal{L}(E), +, \circ, \cdot) est une \mathbb{K}-algèbre.
  3. L’ensemble des matrices carrées (\mathcal{M}_n(\mathbb{K}), +, \times, \cdot) est une \mathbb{K}-algèbre.

Définition 3.2 — (Sous-algèbre)

Soit (A, +, \times, \cdot) une \mathbb{K}-algèbre et B une partie de A. On dit que (B, +, \times, \cdot) est une sous-algèbre de (A, +, \times, \cdot) si :

  1. 1_A \in B
  2. \forall \lambda, \mu \in \mathbb{K}, \; \forall x, y \in B, \quad \lambda x + \mu y \in B
  3. \forall x, y \in B, \quad x \times y \in B

Définition 3.3 — (Morphisme d’algèbres)

Soient A et A' deux \mathbb{K}-algèbres et f : A \to A' une application. On dit que f est un morphisme de \mathbb{K}-algèbres si :

  1. \forall \lambda, \mu \in \mathbb{K}, \; \forall x, y \in A, \quad f(\lambda x + \mu y) = \lambda f(x) + \mu f(y)
  2. \forall x, y \in A, \quad f(x \times y) = f(x) \times f(y)
  3. f(1_A) = 1_{A'}

3.2 Division euclidienne dans \mathbb{K}[X]

Théorème 3.1 — (Division euclidienne)

Soient A, B \in \mathbb{K}[X] avec B \neq 0. Il existe un unique couple (Q, R) \in \mathbb{K}[X]^2 tel que : A = BQ + R \quad \text{et} \quad \deg(R) < \deg(B) Q est le quotient et R le reste de la division euclidienne de A par B.

Proposition 3.1

Soient A, B \in \mathbb{K}[X] avec B \neq 0. Alors : B \mid A \iff \text{le reste de la division euclidienne de } A \text{ par } B \text{ est nul}

3.3 PGCD et PPCM

Définition 3.4 — (PGCD et PPCM)

Soient A, B \in \mathbb{K}[X] non tous deux nuls.

  • Le PGCD de A et B, noté A \wedge B, est le polynôme unitaire de plus grand degré qui divise à la fois A et B.
  • Le PPCM de A et B, noté A \vee B, est le polynôme unitaire de plus petit degré qui est multiple à la fois de A et B.

Théorème 3.2 — (Algorithme d’Euclide dans \boldsymbol{\mathbb{K}[X]})

Soient A, B \in \mathbb{K}[X] avec B \neq 0. On effectue des divisions euclidiennes successives : A = BQ_1 + R_1, \quad B = R_1 Q_2 + R_2, \quad R_1 = R_2 Q_3 + R_3, \quad \ldots jusqu’à obtenir R_{n-1} = R_n Q_{n+1} + 0. Alors : A \wedge B = \frac{R_n}{c(R_n)} où c(R_n) est le coefficient dominant de R_n.

Théorème 3.3 — (Identité de Bézout)

Soient A, B \in \mathbb{K}[X]. Alors il existe U, V \in \mathbb{K}[X] tels que : AU + BV = A \wedge B

Théorème 3.4 — (Lemme de Gauss)

Soient A, B, C \in \mathbb{K}[X]. Si A \mid BC et A \wedge B = 1, alors A \mid C.

3.4 Idéaux de \mathbb{K}[X]

Proposition 3.2 — (Idéaux de \boldsymbol{\mathbb{K}[X]})

Les idéaux de \mathbb{K}[X] sont exactement les ensembles de la forme P \cdot \mathbb{K}[X] pour P \in \mathbb{K}[X].

Autrement dit, \mathbb{K}[X] est un anneau principal.

Proposition 3.3 — (Irréductibilité dans \boldsymbol{\mathbb{K}[X]})

Un polynôme P \in \mathbb{K}[X] non constant est irréductible sur \mathbb{K} s’il ne peut pas s’écrire comme produit de deux polynômes non constants de \mathbb{K}[X].

Théorème 3.5 — (Théorème de décomposition)

Tout polynôme P \in \mathbb{K}[X] non constant se décompose de façon unique (à l’ordre près et à une constante multiplicative près) comme produit de polynômes irréductibles.

  1. Dans \mathbb{C}[X] : P = \lambda \prod_{k=1}^r (X - a_k)^{\alpha_k}
  2. Dans \mathbb{R}[X] : P = \lambda \prod_{k=1}^r (X - a_k)^{\alpha_k} \prod_{k=1}^s (X^2 + b_k X + c_k)^{\beta_k}

4 Exercices

Exercice 4.1

Montrer que l’ensemble \mathbb{U}_n = \{z \in \mathbb{C} \mid z^n = 1\} est un sous-groupe de (\mathbb{C}^*, \times).

Exercice 4.2

Soit (A, +, \cdot) un anneau commutatif. Montrer que l’ensemble des inversibles de A forme un groupe pour la multiplication.

Exercice 4.3

Soit n \in \mathbb{N}^*. Montrer que \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} est un corps si et seulement si n est premier.

Exercice 4.4

Soient A = X^4 - 1 et B = X^3 + X^2 + X + 1. Calculer A \wedge B et A \vee B.

Exercice 4.5

Décomposer P(X) = X^4 + 2X^3 - X^2 - 2X en produit de facteurs irréductibles dans \mathbb{R}[X] et dans \mathbb{C}[X].

Exercice 4.6

Soit f : (\mathbb{Z}, +) \to (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}, +) définie par f(k) = \overline{k}. Montrer que f est un morphisme de groupes et déterminer son noyau.

Exercice 4.7

Soit \sigma \in \mathcal{S}_n. Montrer que \varepsilon(\sigma^{-1}) = \varepsilon(\sigma).

Exercice 4.8

Soient A, B \in \mathbb{K}[X] avec \deg(A) = 5 et \deg(B) = 3. Quel est le nombre maximum de divisions euclidiennes nécessaires pour calculer A \wedge B par l’algorithme d’Euclide ?

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Chapitre 01 : Structures algébriques